Question

13．為了打好脫貧攻堅戰(zhàn)，某貧困縣農科院針對玉米種植情況進行調研，力爭有效地改良玉米品種，為農民提供技術支援．現對已選出的一組玉米的莖高進行統計，獲得莖葉圖如圖（單位：厘米），設莖高大于或等于180厘米的玉米為高莖玉米，否則為矮莖玉米．
（1）完成2×2列聯表，并判斷是否可以在犯錯誤概率不超過1%的前提下，認為抗倒伏與玉米矮莖有關？
（2）（i）按照分層抽樣的方式，在上述樣本中，從易倒伏和抗倒伏兩組中抽出9株玉米，設取出的易倒伏矮莖玉米株數為X，求X的分布列（概率用組合數算式表示）
（ii）若將頻率視為概率，從抗倒伏的玉米試驗田中再隨機取出50株，求取出的高莖玉米株數的數學期望和方差

P（K2≥k）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

（ ${{K}^2}=\frac{{n{{（ad-bc）}^2}}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$，其中n=a+b+c+d）

Answer 1

分析 （1）利用已知條件寫出2×2列聯表即可．
（2）（i） 按照分層抽樣的方式抽到的易倒伏玉米共4株，則X的可能取值為0，1，2，3，4；求出概率即可得到即X的分布列．
（ii） 設取出高莖玉米的株數為ξ，判斷概率滿足ξ～B（50，$\frac{2}{5}$），然后求解期望與方差．

解答 （本小題滿分12分）
解：（1）根據統計數據做出2×2列聯表如下：

	抗倒伏	易倒伏	合計
矮莖	15	4	19
高莖	10	16	26
合計	25	20	45

經計算k≈7.287＞6.635，因此可以在犯錯誤概率不超過1%的前提下，認為抗倒伏與玉米矮莖有關．（4分）
（2）（i） 按照分層抽樣的方式抽到的易倒伏玉米共4株，則X的可能取值為0，1，2，3，4.$P（X=0）=\frac{{C_{16}^4}}{{C_{20}^4}}$，$P（X=1）=\frac{{C_4^1•C_{16}^3}}{{C_{20}^4}}$，$P（X=2）=\frac{{C_4^2•C_{16}^2}}{{C_{20}^4}}$，$P（X=3）=\frac{{C_4^3C_{16}^1}}{{C_{20}^4}}$，$P（X=4）=\frac{C_4^4}{{C_{20}^4}}$
即X的分布列為：

X	0	1	2	3	4
P	$\frac{{C_{16}^4}}{{C_{20}^4}}$	$\frac{{C_4^1•C_{16}^3}}{{C_{20}^4}}$	$\frac{{C_4^2•C_{16}^2}}{{C_{20}^4}}$	$\frac{{C_4^3C_{16}^1}}{{C_{20}^4}}$	$\frac{C_4^4}{{C_{20}^4}}$

（ii） 在抗倒伏的玉米樣本中，高莖玉米有10株，占$\frac{2}{5}$，即每次取出高莖玉米的概率均為$\frac{2}{5}$，設取出高莖玉米的株數為ξ，則ξ～B（50，$\frac{2}{5}$），即$Eξ=np=50×\frac{2}{5}=20$，$Dξ=np（1-p）=50×\frac{2}{5}×\frac{3}{5}=12$．（12分）

點評 本小題主要考查學生對概率統計知識的理解，以及統計案例的相關知識，同時考查學生的數據處理能力．