Question

14．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lnx，x＞1}\\{1-{x}^{3}，x≤1}\end{array}\right.$，若函數(shù)y=f（x）-a（x-1）恰有三個零點，則實數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A． （-$\frac{3}{4}$，0）
• B． （-∞，-$\frac{3}{4}$）
• C． （-3，-$\frac{3}{4}$）
• D． （0，1）

Answer 1

分析 畫出函數(shù)的圖象，①當直線y=a（x-1）與曲線y=lnx相切于點（1，0）時，a=1，推出直線y=a（x-1）與函數(shù)f（x）的圖象恰有3個交點時a的范圍；②當直線y=a（x-1）與曲線y=1-x³相切時，設切點為（x₀，1-x₀³），通過$\left\{\begin{array}{l}{a（{x}_{0}-1）=1-{{x}_{0}}^{3}}\\{a=-3{{x}_{0}}^{2}}\end{array}\right.$，求出x₀=1，a=-3或x₀=-$\frac{1}{2}$，a=-$\frac{3}{4}$，然后判斷求解a的范圍．

解答 解：函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lnx，x＞1}\\{1-{x}^{3}，x≤1}\end{array}\right.$的圖象如圖所示，

①當直線y=a（x-1）與曲線y=lnx相切于點（1，0）時，a=1，
故當a=0或a≥1時，直線y=a（x-1）與函數(shù)f（x）的圖象恰有一個交點，
當0＜a＜1時，直線y=a（x-1）與函數(shù)f（x）的圖象恰有兩個交點，
②當直線y=a（x-1）與曲線y=1-x³相切時，設切點為（x₀，1-x₀³），則$\left\{\begin{array}{l}{a（{x}_{0}-1）=1-{{x}_{0}}^{3}}\\{a=-3{{x}_{0}}^{2}}\end{array}\right.$，
∴-3x₀²（x₀-1）=1-x₀³，解得x₀=1，a=-3或x₀=-$\frac{1}{2}$，a=-$\frac{3}{4}$，
當-$\frac{3}{4}＜a＜0$時，直線y=a（x-1）與函數(shù)f（x）的圖象恰有一個交點，
當a=-$\frac{3}{4}$或a≤-3時，直線y=a（x-1）與函數(shù)f（x）的圖象恰有兩個交點，
當-3＜a＜-$\frac{3}{4}$時，直線y=a（x-1）與函數(shù)f（x）的圖象恰有三個交點，
故選：C．

點評 本題考查函數(shù)與方程的應用，考查數(shù)形結(jié)合以及轉(zhuǎn)化思想的應用，考查計算能力．