Question

6．在直角坐標(biāo)系xoy中，圓的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{2}cosθ\\ y=\sqrt{2}sinθ\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），直線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=1+t\\ y=2+t\end{array}\right.$（t為參數(shù)）．
（1）若直線C₁與O圓相交于A，B，求弦長|AB|；
（2）以該直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，圓C₂的極坐標(biāo)方程為$ρ=2cosθ+2\sqrt{3}sinθ$，圓O和圓C₂的交點(diǎn)為P，Q，求弦PQ所在直線的直角坐標(biāo)方程．

Answer 1

分析 （1）將參數(shù)方程化為普通方程，求圓心到直線的距離，利用勾股定理即可求弦長|AB|；
（2）將圓C₂的極坐標(biāo)方程$ρ=2cosθ+2\sqrt{3}sinθ$化為普通方程，整體代換可得弦PQ所在直線的直角坐標(biāo)方程．

解答 解：（1）由直線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=1+t\\ y=2+t\end{array}\right.$（t為參數(shù)）消去參數(shù)t，
可得：x-y+1=0，即直線C₁的普通方程為x-y+1=0．
圓的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{2}cosθ\\ y=\sqrt{2}sinθ\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），
根據(jù)sin²θ+cos²θ=1消去參數(shù)θ，可得：x²+y²=2．
那么：圓心到直線的距離d=$\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$
故得弦長|AB|=2$\sqrt{{r}^{2}-fuc6lul^{2}}$=$\sqrt{6}$．
（2）圓C₂的極坐標(biāo)方程為$ρ=2cosθ+2\sqrt{3}sinθ$，
利用ρ²=x²+y²，ρcosθ=x，ρsinθ=y，可得圓C₂的普通方程為${x}^{2}+{y}^{2}=2x+2\sqrt{3}y$．
∵圓O為：x²+y²=2．
∴弦PQ所在直線的直角坐標(biāo)方程為：2=$2x+2\sqrt{3}y$，
即$x+\sqrt{3}y-1=0$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查點(diǎn)的參數(shù)方程和直角坐標(biāo)的互化，以及利用平面幾何知識(shí)解決問題．