Question

5．實數(shù)x、y滿足$\left\{\begin{array}{l}{x≤3}\\{x+y≥0}\\{x-y+6≥0}\end{array}\right.$，若z=ax+y的最大值為3a+9，最小值為3a-3，則a的取值范圍是[-1，1]．

Answer 1

分析 作出不等式組對應的平面區(qū)域，利用目標函數(shù)的幾何意義，利用數(shù)形結(jié)合進行求解即可．

解答 解：由z=ax+y得y=-ax+z，直線y=-ax+z是斜率為-a，y軸上的截距為z的直線，
作出不等式組$\left\{\begin{array}{l}{x≤3}\\{x+y≥0}\\{x-y+6≥0}\end{array}\right.$對應的平面區(qū)域如圖：
則A（3，9），B（-3，3），C（3，-3），
∵z=ax+y的最大值為3a+9，最小值為3a-3，
可知目標函數(shù)經(jīng)過A取得最大值，經(jīng)過C取得最小值，
若a=0，則y=z，此時z=ax+y經(jīng)過A取得最大值，經(jīng)過C取得最小值，滿足條件，
若a＞0，則目標函數(shù)斜率k=-a＜0，
要使目標函數(shù)在A處取得最大值，在C處取得最小值，
則目標函數(shù)的斜率滿足-a≥k_BC=-1，
即a≤1，可得a∈（0，1]．
若a＜0，則目標函數(shù)斜率k=-a＞0，
要使目標函數(shù)在A處取得最大值，在C處取得最小值，可得-a≤k_BA=1
∴-1≤a＜0，綜上a∈[-1，1]
故答案為：[-1，1]．

點評 本題主要考查線性規(guī)劃的應用，根據(jù)條件確定A，B是最優(yōu)解是解決本題的關(guān)鍵．注意要進行分類討論，是中檔題．