Question

7．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），點F₁，F(xiàn)₂是橢圓的左右焦點，點A是橢圓上的點，△AF₁F₂的內(nèi)切圓的圓心為M，若$\overrightarrow{M{F}_{1}}$+2$\overrightarrow{M{F}_{2}}$+2$\overrightarrow{MA}$=0，則橢圓的離心率為$\frac{2}{3}$．

Answer 1

分析 設點D是AF₂的中點，由$\overrightarrow{M{F}_{1}}$+2$\overrightarrow{M{F}_{2}}$+2$\overrightarrow{MA}$=0⇒若$\overrightarrow{M{F}_{1}}$=-2（$\overrightarrow{M{F}_{2}}$+$\overrightarrow{MA}$）=-4$\overrightarrow{MD}$，
即三點F₁、M、D三點共線，且點M是靠近D的5等分點，△AF₁F₂與△AMF₂的面積比為5：1；
如圖$\overrightarrow{M{F}_{1}}+2\overrightarrow{M{F}_{2}}=\overrightarrow{MF}$，有$\frac{M{F}_{2}}{{F}_{1}F}=\frac{MH}{HF}=1：2$，由$\overrightarrow{M{F}_{1}}$+2$\overrightarrow{M{F}_{2}}$+2$\overrightarrow{MA}$=0，得2$\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{MF}$，⇒AM：MH=3：2，⇒△AF₁F₂與△AMF₁F₂的面積比為5：2

解答 解：設點D是AF₂的中點，
∵$\overrightarrow{M{F}_{1}}$+2$\overrightarrow{M{F}_{2}}$+2$\overrightarrow{MA}$=0⇒若$\overrightarrow{M{F}_{1}}$=-2（$\overrightarrow{M{F}_{2}}$+$\overrightarrow{MA}$）=-4$\overrightarrow{MD}$，
∴三點F₁、M、D三點共線，且點M是靠近D的5等分點，
△AF₁F₂與△AMF₂的面積比為5：1；
如圖$\overrightarrow{M{F}_{1}}+2\overrightarrow{M{F}_{2}}=\overrightarrow{MF}$，有$\frac{M{F}_{2}}{{F}_{1}F}=\frac{MH}{HF}=1：2$，
由$\overrightarrow{M{F}_{1}}$+2$\overrightarrow{M{F}_{2}}$+2$\overrightarrow{MA}$=0，得2$\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{MF}$，⇒AM：MH=3：2，
∴△AF₁F₂與△AMF₁F₂的面積比為5：2
又∵△AMF₂與△AMF₁F₂的面積比為AF₂：F₁F₂=1：2，
AF₂：F₁F₂：AF₁=1：2：2，∴2a=3c，
橢圓的離心率為$\frac{2}{3}$．
故答案為：$\frac{2}{3}$

點評 本題考查了橢圓的離心率、向量的線性運算，屬于難題．