Question

4．已知函數(shù)f（x）=x²+2ax+2lnx（a∈R），g（x）=2e^x+3x²（e為自然對數(shù)的底數(shù)）．
（Ⅰ）若a=1，求f（x）在x=1處的切線方程；
（Ⅱ）若函數(shù)y=f（x）的圖象與函數(shù)y=g（x）的圖象有兩個不同的交點，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）當a=1時，f′（x）=$\frac{2}{x}$+2x+2=$\frac{{2x}^{2}+2x+2}{x}$（x＞0），f（x）在x=1處的切線方程的斜率k=f′（1）=6，又f（1）=3，可求得在x=1處的切線方程；
（Ⅱ）令f（x）=g（x），可得2lnx+x²+2ax=2e^x+3x²，即ax=e^x+x²-lnx，分離參數(shù)a得：a=$\frac{{e}^{x}{+x}^{2}-lnx}{x}$，再令φ（x）=$\frac{{e}^{x}{+x}^{2}-lnx}{x}$（x＞0），利用導數(shù)可判斷函數(shù)的單調(diào)性與取值范圍，從而可求得實數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）當a=1時，f（x）=x²+2x+2lnx，
f′（x）=$\frac{2}{x}$+2x+2=$\frac{{2x}^{2}+2x+2}{x}$（x＞0），f′（1）=6，f（1）=3，
則在x=1處的切線方程為y-6x+3=0…（4分）
（Ⅱ）令f（x）=g（x），得2lnx+x²+2ax=2e^x+3x²，即ax=e^x+x²-lnx，
∵x＞0，∴a=$\frac{{e}^{x}{+x}^{2}-lnx}{x}$，…（6分）
令φ（x）=$\frac{{e}^{x}{+x}^{2}-lnx}{x}$（x＞0），
φ′（x）=$\frac{{（e}^{x}-\frac{1}{x}+2x）x-{（e}^{x}{+x}^{2}-lnx）}{{x}^{2}}$=$\frac{{e}^{x}（x-1）+lnx+（x-1）（x+1）}{{x}^{2}}$，…（8分）
∵x＞0，∴x∈（0，1）時，φ′（x）＜0，φ（x）為減函數(shù)；
x∈（1，+∞）時，φ′（x）＞0，φ（x）為增函數(shù)，∴φ（x）≥φ（1）=e+1，
當x→0時，φ（x）→+∞，當→+∞時，φ（x）→+∞，
∵函數(shù)y=f（x）圖象與函數(shù)y=g（x）圖象有兩個不同交點，
∴實數(shù)a的取值范圍為（e+1，+∞）…（12分）

點評 本題考查利用導數(shù)研究閉區(qū)間上函數(shù)的最值及曲線上某點的切線方程，考查等價轉(zhuǎn)化思想與構造函數(shù)法、分離參數(shù)法的綜合運用，屬于難題．