Question

1．定理：若函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=a對稱，且方程f（x）=0有n個根，則這n個根之和為na（n∈N^*）．
利用上述定理，求解下列問題：
（1）已知函數(shù)g（x）=sin2x+1，x∈[-$\frac{5π}{2}$，4π]，設(shè)函數(shù)y=g（x）的圖象關(guān)于直線x=a對稱，求a的值及方程g（x）=0的所有根之和；
（2）若關(guān)于x的方程2x⁴+2^x+2^-x-cosx-m²=0在實數(shù)集上有唯一的解，求m的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)定義域和對稱性即可得出a的值，求出g（x）=0的解的個數(shù)，利用定理得出所有根的和；
（2）令h（x）=2x⁴+2^x+2^-x-cosx-m²，則h（x）為偶函數(shù)，于是h（x）的唯一零點為x=0，于是h（0）=0，即可解出m的值．

解答 解：（1）∵g（x）在[-$\frac{5π}{2}$，4π]上的圖象關(guān)于直線x=a對稱，
∴a=$\frac{-\frac{5π}{2}+4π}{2}$=$\frac{3π}{4}$，
令g（x）=0得sin2x=-1，2x=-$\frac{π}{2}$+2kπ，即x=-$\frac{π}{4}$+kπ，k∈Z．
∴g（x）在[-$\frac{5π}{2}$，4π]上有7個零點，
∴方程g（x）=0的所以根之和為7×$\frac{3π}{4}$=$\frac{21π}{4}$．
（2）令h（x）=2x⁴+2^x+2^-x-cosx-m²，則h（-x）=2x⁴+2^-x+2^x-cosx-m²=h（x），
∴h（x）是偶函數(shù)，
∴h（x）的圖象關(guān)于y軸對稱，即關(guān)于直線x=0對稱，
∵h（x）=0只有1解，
∴h（x）=0的唯一解為x=0，即h（0）=0，
∴0+1+1-1-m²=0，解得m=±1．

點評 本題考查了函數(shù)零點與函數(shù)圖象對稱性的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．