Question

13．已知奇函數(shù)f（x）滿(mǎn)足f（x+1）=-f（x），當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，f（x）=-2^x，則f（log₂10）等于$\frac{8}{5}$．

Answer 1

分析 先判斷l(xiāng)og₂10的范圍，利用函數(shù)的周期為2轉(zhuǎn)化到區(qū)間（-1，0）內(nèi)，再根據(jù)奇函數(shù)的定義和對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求出f（log₂10）的值．

解答 解：∵3＜log₂10＜4，
∴-1＜-4+log₂10＜0，
∵f（x+1）=-f（x），
∴f（x+2）=-f（x+1）=f（x），
∴函數(shù)f（x）是以2為周期的奇函數(shù)，
∴f（log₂10）=f（-4+log₂10）=-f（4-log₂10），
∵當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，f（x）=-2^x，
∴f（4-log₂10）=-${2}^{4{-log}_{2}10}$=-$\frac{8}{5}$，
即f（log₂10）=$\frac{8}{5}$，
故答案為：$\frac{8}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)奇偶性和周期性的應(yīng)用，根據(jù)周期性把自變量的范圍轉(zhuǎn)化到與題意有關(guān)的區(qū)間上，再由奇偶性聯(lián)系f（x）=-f（-x），利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求出函數(shù)值．