Question

4．在極坐標系中，圓C的方程為ρ=2acosθ（a≠θ），以極點為坐標原點，極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標系，設直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=3t+1}\\{y=4t+3}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）
（1）求圓C的直角坐標方程和直線l的普通方程
（2）若直線l與圓C恒有兩個公共點，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意，由參數(shù)方程和極坐標方程的形式，將其變形為普通方程即可得答案；
（2）由直線與圓的位置關(guān)系，分析可得$\frac{|4a+5|}{{\sqrt{{4^2}+{{（-3）}^2}}}}＜|a|$，解可得a的取值范圍，即可得答案．

解答 解：（1）由$\left\{\begin{array}{l}x=3t+1\\ y=4t+3\end{array}\right.$得，$\frac{x-1}{3}=\frac{y-3}{4}$，
∴直線l的普通方程為4x-3y+5=0．
由ρ=2acosθ得，ρ²=2aρcosθ，
∴x²+y²=2ax，
∴圓C的平面直角坐標方程為（x-a）²+y²=a²．
（2）∵直線l與圓C恒有兩個公共點，∴$\frac{|4a+5|}{{\sqrt{{4^2}+{{（-3）}^2}}}}＜|a|$，
解得$a＜-\frac{5}{9}$或a＞5，
∴a的取值范圍是$（-∞，-\frac{5}{9}）∪（5，+∞）$．

點評 本題考查直線與圓的極坐標方程、參數(shù)方程，關(guān)鍵是將直線的參數(shù)方程．圓的標準方程變形為普通方程．