Question

14．若過雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞0，b＞0）右頂點A且與其中一條漸近線平行，又與另一條漸近線交于點B，滿足三角形AOB的面積為$\frac{{a}^{2}}{4}$，則該雙曲線的離心率e為（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． $\frac{\sqrt{5}}{2}$
• D． $\sqrt{5}$

Answer 1

分析 求得A（a，0）求出雙曲線的漸近線方程，設(shè)出直線AB的方程為y=$\frac{a}$（x-a），代入y=-$\frac{a}$x，解方程可得B的坐標(biāo)，再由△AOB的面積為$\frac{1}{2}$•|OA|•|y_B|，化簡，結(jié)合離心率公式即可得到所求值．

解答 解：過雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞0，b＞0）右頂點A為（a，0），
與其中一條漸近線y=$\frac{a}$x平行，
又與另一條漸近線y=-$\frac{a}$x交于點B，
可得直線AB的方程為y=$\frac{a}$（x-a），
代入y=-$\frac{a}$x可得x=$\frac{a}{2}$，y=-$\frac{1}{2}$b，即有B（$\frac{a}{2}$，-$\frac{1}{2}$b），
則△AOB的面積為$\frac{1}{2}$•|OA|•|y_B|=$\frac{1}{2}$a•$\frac{1}{2}$b=$\frac{{a}^{2}}{4}$，
化為a=b，則c=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$=$\sqrt{2}$a，
即有e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{2}$．
故選：A．

點評 本題考查雙曲線的離心率的求法，注意運(yùn)用雙曲線的漸近線方程，以及聯(lián)立直線方程求交點，考查三角形的面積公式的應(yīng)用，以及運(yùn)算能力，屬于中檔題．