Question

19．如圖，AB是圓的切線，切點為B，點C在圓上，∠ABC的角平分線BE交圓于點E，DB垂直BE交圓于點D．
（1）證明：Rt△BDE≌△Rt△CDE；
（2）設圓的半徑為1，BC=$\sqrt{3}$，延長CE交AB于點F．證明：△DBE∽△BFE．

Answer 1

分析 （1）連結DE，交BC于G點，推導出∠ABE=∠BCE，∠CBE=∠ABE，從而∠BCE=∠CBE，進而BE=CE，由此得到DE是圓O的直徑，從而能證明Rt△BDE≌△Rt△CDE．
（2）推導出四邊形OBEC為菱形，∠CBE=∠ABE=30°，從而∠BEC=120°，∠BEF=60°，進而CF⊥AB，由此能證明△DBE∽△BFE．

解答 證明：（1）連結DE，交BC于G點，
∵AB是圓O的切線，切點為B，∴∠ABE=∠BCE，
∵BE平分∠ABC，∴∠CBE=∠ABE，
∴∠BCE=∠CBE，∴BE=CE，
∵BD⊥BE，∴DE是圓O的直徑，
∴∠DCE=90°，
∴Rt△BDE≌△Rt△CDE．
（2）由（1）知，OB=OE=1，BC⊥OE，且OE平分BC，
∴BG=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
四邊形OBEC為菱形，∠CBE=∠ABE=30°，
∴∠BEC=120°，∴∠BEF=60°，∴CF⊥AB，
在△DBE和△BFE中，
∵∠DBE=∠BFE=90°，∠BDE=∠FBE，
∴△DBE∽△BFE．

點評 本題考查兩三角形全等及兩三角形相似的證明，考查圓、切線、弦切角定理、三角形全等、三角形相似等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．