Question

10．在直角坐標系xOy中，直線l的參數(shù)方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{3}}{2}t+m}\\{y=\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），以坐標原點O為極點，以x軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線C的極坐標方程是ρ=2cosθ．
（1）求直線l的普通方程和曲線C的直角坐標方程；
（2）設(shè)點P（m，0），若直線l與曲線C交于A、B兩點，且|PA|•|PB|=1，求實數(shù)m的值．

Answer 1

分析 （1）直線l的參數(shù)方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{3}}{2}t+m}\\{y=\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），消去參數(shù)t可得普通方程．曲線C的極坐標方程是ρ=2cosθ，即ρ²=2ρcosθ，利用互化公式可得直角坐標方程．
（2）設(shè)點P（m，0），把直線l的參數(shù)方程$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{3}}{2}t+m}\\{y=\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）代入圓C的方程：t²+（$\sqrt{3}$m-$\sqrt{3}$）t+m²-2m=0，△＞0，解得m范圍．可得|PA|•|PB|=|t₁t₂|，解出即可得出．

解答 解：（1）直線l的參數(shù)方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{3}}{2}t+m}\\{y=\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），消去參數(shù)t可得普通方程：x-$\sqrt{3}$y-m=0．
曲線C的極坐標方程是ρ=2cosθ，即ρ²=2ρcosθ，可得直角坐標方程：x²+y²=2x．
（2）設(shè)點P（m，0），把直線l的參數(shù)方程$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{3}}{2}t+m}\\{y=\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）代入圓C的方程：
t²+（$\sqrt{3}$m-$\sqrt{3}$）t+m²-2m=0，
△=$（\sqrt{3}m-\sqrt{3}）^{2}$-4（m²-2m）＞0，解得-1＜m＜3．
∴t₁t₂=m²-2m，
∴|PA|•|PB|=|t₁t₂|=|m²-2m|=1，又-1＜m＜3．
解得m=1，m=1$±\sqrt{2}$．
∴實數(shù)m的值為1，1$±\sqrt{2}$．

點評 本題考查了直線參數(shù)方程、極坐標方程化為直角坐標方程、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．