Question

7．在△ABC中，$∠C=\frac{2π}{3}$．
（Ⅰ）若c²=5a²+ab，求$\frac{sinB}{sinA}$；
（Ⅱ）求sinA•sinB的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)題意，結(jié)合余弦定理可得5a²+ab=a²+b²+ab，變形可得b²=4a²，即b=2a，由正弦定理分析可得答案；
（Ⅱ）根據(jù)題意，$∠C=\frac{2π}{3}$，可得B=$\frac{π}{3}$-A，將sinA•sinB變形可得sinA•sinB=$\frac{sin（2A+\frac{π}{6}）}{2}$-$\frac{1}{4}$，結(jié)合A的范圍，分析可得$\frac{sin（2A+\frac{π}{6}）}{2}$-$\frac{1}{4}$即sinA•sinB的范圍，即可得答案．

解答 解：（Ⅰ）由余弦定理可得：c²=a²+b²-2abcosC=a²+b²+ab，
又由c²=5a²+ab，則有5a²+ab=a²+b²+ab，
變形可得b²=4a²，即b=2a，
則$\frac{sinB}{sinA}$=$\frac{a}$=2；
（Ⅱ）根據(jù)題意，$∠C=\frac{2π}{3}$，則A+B=$\frac{π}{3}$，即B=$\frac{π}{3}$-A，
sinA•sinB=sinA•sin（$\frac{π}{3}$-A）=sinA•[$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosA-$\frac{1}{2}$sinA]
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinAcosA-$\frac{1}{2}$sin²A=$\frac{\sqrt{3}sin2A+cos2A}{4}$-$\frac{1}{4}$
=$\frac{sin（2A+\frac{π}{6}）}{2}$-$\frac{1}{4}$，
又由A+B=$\frac{π}{3}$，則0＜A＜$\frac{π}{3}$，
則$\frac{π}{6}$＜2A+$\frac{π}{6}$＜$\frac{5π}{6}$，
進(jìn)而有0＜$\frac{sin（2A+\frac{π}{6}）}{2}$-$\frac{1}{4}$≤$\frac{1}{4}$，
即0＜sinA•sinB≤$\frac{1}{4}$，
故sinA•sinB的最大值為$\frac{1}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題正弦、余弦定理的綜合運(yùn)用，涉及三角函數(shù)的恒等變換，關(guān)鍵是依據(jù)余弦定理，發(fā)現(xiàn)a、b的關(guān)系．