Question

8．某中學的環(huán)保社團參照國家環(huán)境標準制定了該校所在區(qū)域空氣質量指數(shù)與空氣質量等級對應關系如表（假設該區(qū)域空氣質量指數(shù)不會超過300）：

空氣質量指數(shù)	（0，50]	（50，100]	（100，150]	（150，200]	（200，250]	（250，300]
空氣質量等級	1級優(yōu)	2級良	3級輕度 污染	4級中度 污染	5級重度 污染	6級嚴重污染

該社團將該校區(qū)在2016年100天的空氣質量指數(shù)監(jiān)測數(shù)據(jù)作為樣本，繪制的頻率分布直方圖如下圖，把該直方圖所得頻率估計為概率．
（Ⅰ）請估算2017年（以365天計算）全年空氣質量優(yōu)良的天數(shù)（未滿一天按一天計算）；
（Ⅱ）用分層抽樣的方法共抽取10天，則空氣質量指數(shù)在（0，50]，（50，100]，（100，150]的天數(shù)中各應抽取幾天？
（Ⅲ）已知空氣質量等級為1級時不需要凈化空氣，空氣質量等級為2級時每天需凈化空氣的費用為2000元，空氣質量等級為3級時每天需凈化空氣的費用為4000元．若在（Ⅱ）的條件下，從空氣質量指數(shù)在（0，150]的天數(shù)中任意抽取兩天，求這兩天的凈化空氣總費用為4000元的概率．

Answer 1

分析 （I）利用頻率直方圖的性質可得頻率（0.1+0.2），進而得出全年空氣質量優(yōu)良的天數(shù)為．
（Ⅱ）利用分層抽樣的方法即可得出．
（Ⅲ）設空氣質量指數(shù)在（0，50]的一天為A，空氣質量指數(shù)在（50，100]的兩天為b、c，空氣質量指數(shù)在（100，150]的三天為1、2、3．可得從六天中隨機抽取兩天的所有可能結果為共15種．其中這兩天的凈化空氣總費用為4000元的可能結果為（A1），（A2），（A3），（bc）．利用古典概率計算公式即可得出．

解答 解：（Ⅰ）由直方圖可估算2017年（以365天計算）全年空氣質量優(yōu)良的天數(shù)為
（0.1+0.2）×365=0.3×365=109.5≈110（天）．         …（3分）
（Ⅱ）在（0，50]，（50，100]，（100，150]的頻率分別為0.1，0.2，0.3，因此在各個區(qū)間的天數(shù)中各應
抽取1，2，3天．  …（6分）
（Ⅲ）設空氣質量指數(shù)在（0，50]的一天為A，空氣質量指數(shù)在（50，100]的兩天為b、c，空氣質量指數(shù)在（100，150]的三天為1、2、3．
則從六天中隨機抽取兩天的所有可能結果為（Ab），（Ac），（A1），（A2），（A3），（bc），（b1），（b2），（b3），（c1），（c2），（c3），（12），（13），（23）．共15種．
其中這兩天的凈化空氣總費用為4000元的可能結果為（A1），（A2），（A3），（bc）．
P（這兩天的凈化空氣總費用為4000元）=$\frac{4}{15}$．…（12分）

點評 本題考查了古典概型及其概率計算公式、列舉法、分層抽樣方法、頻率分布直方圖的性質，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．