Question

9．若函數(shù)f（x）同時(shí)滿(mǎn)足以下三個(gè)性質(zhì)：
①f（x）的最小正周期為π；      
②f（x）在（$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$）上是減函數(shù)；
③對(duì)任意的x∈R，都有f（x-$\frac{π}{4}$）+f（-x）=0，則f（x）的解析式可能是（　　）

• A． f（x）=|sin（2x-$\frac{π}{4}$）|
• B． f（x）=sin2x+cos2x
• C． f（x）=cos（2x+$\frac{3π}{4}$）
• D． f（x）=-tan（x+$\frac{π}{8}$）

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)f（x）同時(shí)滿(mǎn)足三個(gè)性質(zhì)，依次對(duì)個(gè)選項(xiàng)判斷即可．

解答 解：對(duì)于A：f（x）=|sin（2x-$\frac{π}{4}$）|，∵f（x）=sin（2x-$\frac{π}{4}$）的周期T=π，∴f（x）=|sin（2x-$\frac{π}{4}$）|其周期T=$\frac{π}{2}$，∴A選項(xiàng)不對(duì)．
對(duì)于B：f（x）=sin2x+cos2x=$\sqrt{2}$sin（2x$+\frac{π}{4}$），周期T=π；
令$\frac{π}{2}≤$2x$+\frac{π}{4}$$≤\frac{3π}{2}$，可得$\frac{π}{8}≤x≤\frac{5π}{8}$是減函數(shù)，
對(duì)任意的x∈R，都有f（x-$\frac{π}{4}$）+f（-x）=0，可知函數(shù)f（x）關(guān)于點(diǎn)（$-\frac{π}{8}$，0）對(duì)稱(chēng)，當(dāng)x=$-\frac{π}{8}$，代入f（x）=$\sqrt{2}$sin（2x$+\frac{π}{4}$），可得y=0，∴B選項(xiàng)對(duì)．
對(duì)于C：f（x）=cos（2x+$\frac{3π}{4}$），周期T=π；
令0≤2x$+\frac{3π}{4}$≤π，可得$-\frac{3π}{8}≤x≤\frac{π}{8}$是減函數(shù)，∴C選項(xiàng)不對(duì)．
對(duì)于D：f（x）=-tan（x+$\frac{π}{8}$）周期T=π；在區(qū)間（$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$）上是減函數(shù)；
對(duì)任意的x∈R，都有f（x-$\frac{π}{4}$）+f（-x）=0，不成立．
故選B

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查對(duì)三角函數(shù)的化簡(jiǎn)能力和三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的運(yùn)用．