Question

14．如圖，邊長為2的正方形ABCD中，點E、點F分別是AB、BC上的點，且BE=BF，將△AED，△DCF分別沿DE，DF折起，使A，C兩點重合于點A₁．
（Ⅰ）若點E是邊AB的中點，求證：A₁D⊥EF；
（Ⅱ）當$BE=\frac{1}{2}$時，求三棱錐A₁-DEF的體積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）折疊前有AD⊥AE，CD⊥CF，折疊后有A₁D⊥A₁E，A₁D⊥A₁F，從而A₁D⊥平面A₁EF，由此能證明A₁D⊥EF．
（Ⅱ）取EF的中點O，連接A₁O，三棱錐A₁-DEF的體積${V_{{A_1}-EFD}}=\frac{1}{3}•{S_{△E{A_1}F}}•{A_1}D$，由此能求出結果．

解答 解：：（Ⅰ）折疊前有AD⊥AE，CD⊥CF，
折疊后有A₁D⊥A₁E，A₁D⊥A₁F，
又A₁E∩A₁F=A₁，∴A₁D⊥平面A₁EF，
∴A₁D⊥EF．…（6分）
解：（Ⅱ）由正方形ABCD的邊長為2，
折疊后A₁D=2，${A_1}E={A_1}F=\frac{3}{2}$，$EF=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
取EF的中點O，連接A₁O，
則${A_1}O=\sqrt{{A_1}{E^2}-E{O^2}}=\frac{{\sqrt{34}}}{4}$
∴${S_{△E{A_1}F}}=\frac{1}{2}•{A_1}O•EF=\frac{{\sqrt{17}}}{8}$，
∴${V_{{A_1}-EFD}}=\frac{1}{3}•{S_{△E{A_1}F}}•{A_1}D=\frac{{\sqrt{17}}}{12}$．…（12分）

點評 本題考查柱、錐、臺體的體積，解答此題的關鍵是注意折疊問題在折疊前后的變量與不變量，考查空間想象能力與計算能力，是中檔題．