Question

6．在數(shù)列{a_n}中，a₁=1，當(dāng)n≥2時(shí)，${a_n}=\frac{{2{a_{n-1}}}}{{{a_{n-1}}+2}}（{n∈{N^*}}）$．
（1）求a₂，a₃，a₄；
（2）猜想數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)a_n，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)n≥2時(shí)，a₁=1，由a_n=$\frac{2{a}_{n-1}}{{a}_{n-1}+2}$，代入計(jì)算可得a₂，a₃，a₄； 
（2）利用數(shù)學(xué)歸納法證明即可．

解答 解：（1）當(dāng)n≥2時(shí)，a₁=1，由a_n=$\frac{2{a}_{n-1}}{{a}_{n-1}+2}$得
∴a₂=$\frac{2}{3}$，a₃=$\frac{1}{2}$，a₄=$\frac{2}{5}$，
（2）猜想：a_n=$\frac{2}{n+1}$，
①當(dāng)n=1時(shí)，猜想成立，
②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，猜想成立，即a_k=$\frac{2}{k+1}$，
那么當(dāng)n=k+1時(shí)，a_k+1=$\frac{2{a}_{k}}{{a}_{k}+2}$=$\frac{2•\frac{2}{k+1}}{\frac{2}{k+1}+2}$=$\frac{2}{k+2}$，
∴當(dāng)n=k+1時(shí)猜想成立，
由①②可得，對(duì)任意n∈N*，a_n=$\frac{2}{n+1}$都成立．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列遞推式，以及數(shù)學(xué)歸納法，屬于中檔題．