Question

14．某中學(xué)是走讀中學(xué)，為了讓學(xué)生更有效率利用下午放學(xué)后的時(shí)間，學(xué)校在本學(xué)期第一次月考后設(shè)立了多間自習(xí)室，以便讓學(xué)生在自習(xí)室自主學(xué)習(xí)、完成作業(yè)，同時(shí)每天派老師輪流值班．在本學(xué)期第二次月考后，高一某班數(shù)學(xué)老師統(tǒng)計(jì)了兩次考試該班數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)良人數(shù)和非優(yōu)良人數(shù)，得到如下2×2列聯(lián)表：

	非優(yōu)良	優(yōu)良	總計(jì)
未設(shè)立自習(xí)室	25	15	40
設(shè)立自習(xí)室	10	30	40
總計(jì)	35	45	80

（1）能否在在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.005的前提下認(rèn)為設(shè)立自習(xí)室對(duì)提高學(xué)生成績(jī)有效；
（2）從該班第一次月考的數(shù)學(xué)優(yōu)良成績(jī)中和第二次月考的數(shù)學(xué)非優(yōu)良成績(jī)中，按分層抽樣隨機(jī)抽取5個(gè)成績(jī)，再?gòu)倪@5個(gè)成績(jī)中隨機(jī)抽取2個(gè)，求這2個(gè)成績(jī)來(lái)自同一次月考的概率．
下面的臨界值表供參考：

P（K2≥k0）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k0	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

（參考公式：K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$，其中n=a+b+c+d）

Answer 1

分析 （1）由2×2列聯(lián)表，計(jì)算K²，對(duì)照臨界值表得出結(jié)論；
（2）根據(jù)分層抽樣比例求出所抽取的5個(gè)成績(jī)，
利用列舉法計(jì)算基本事件數(shù)、計(jì)算對(duì)應(yīng)的概率值．

解答 解：（1）由2×2列聯(lián)表，計(jì)算K²的觀測(cè)值為
k=$\frac{80{×（25×30-15×10）}^{2}}{40×40×35×45}$=$\frac{80}{7}$＞7.879，
對(duì)照臨界值表，得出能在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.005的前提下，
認(rèn)為設(shè)立自習(xí)室對(duì)提高學(xué)生成績(jī)有效；
（2）根據(jù)分層抽樣原理，
從第一次月考數(shù)學(xué)優(yōu)良成績(jī)中抽取$\frac{15}{25}$×5=3個(gè)，記為A、B、C；
從第二次月考數(shù)學(xué)優(yōu)良成績(jī)中抽取$\frac{10}{25}$×5=2個(gè)，記為d、e；
則從這5個(gè)成績(jī)中抽取2個(gè)，基本事件是
AB、AC、Ad、Ae、BC、Bd、Be、Cd、Ce、de共10個(gè)，
其中抽取的2個(gè)成績(jī)均來(lái)自同一次月考的基本事件有
AB、AC、BC、de共4個(gè)，
故所求的概率為P=$\frac{4}{10}$=$\frac{2}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了獨(dú)立性檢驗(yàn)與列舉法求古典概型的概率問(wèn)題，是基礎(chǔ)題．