Question

5．已知非零向量$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow$滿足|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|=|$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow$|，且$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角的余弦值為-$\frac{1}{4}$，則$\frac{|\overrightarrow{a}|}{|\overrightarrow|}$等于（　�。�

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{2}{3}$
• C． $\frac{3}{2}$
• D． 2

Answer 1

分析 由向量的平方即為模的平方．可得$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow$²，再由向量的夾角公式：cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$＞=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow|}$，化簡即可得到所求值．

解答 解：非零向量$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow$滿足|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|=|$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow$|，
即有（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$）²=（$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow$）²，
即為$\overrightarrow{a}$²+$\overrightarrow$²-2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=$\overrightarrow{a}$²+4$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$+4$\overrightarrow$²，
化為$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow$²，
由$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角的余弦值為-$\frac{1}{4}$，
可得cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$＞=-$\frac{1}{4}$=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow|}$=$\frac{-\frac{1}{2}|\overrightarrow{|}^{2}}{|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow|}$，
化簡可得$\frac{|\overrightarrow{a}|}{|\overrightarrow|}$=2．
故選：D．

點評 本題考查向量的數(shù)量積的夾角公式，以及向量的平方即為模的平方，考查運算能力，屬于基礎(chǔ)題．