10.如圖,在四棱錐P-ABCD中,AB⊥平面BCP,CD∥平面ABP,AB=BC=CP=BP=2CD=2
(1)證明:平面ABP⊥平面ADP;
(2)若直線PA與平面PCD所成角為α,求sinα的值.

分析 (1)取AP的中點(diǎn)E,PB的中點(diǎn)F,連結(jié)DE,EF,CF,利用平行四邊形得出DE∥CF,通過(guò)證明CF⊥平面APB得出DE⊥平面PAB,于是平面ABP⊥平面ADP;
(2)將幾何體補(bǔ)成直三棱柱,作出線面角,從而可求出sinα的值.

解答 (1)證明:取AP的中點(diǎn)E,PB的中點(diǎn)F,連結(jié)DE,EF,CF,
則EF$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}$AB,
∵CD∥平面ABP,CD?平面ABCD,平面ABCD∩平面ABP=AB,
∴CD∥AB,又CD=$\frac{1}{2}$AB,
∴EF$\stackrel{∥}{=}$CD,
∴四邊形DEFC是平行四邊形,∴CF∥DE,
∵AB⊥平面BCP,CF?平面BCP,
∴AB⊥CF,
∵BC=CP=BP,
∴CF⊥PB,又PB∩AB=B,
∴CF⊥平面ABP,
∴DE⊥平面ABP,又DE?平面ADP,
∴平面ABP⊥平面ADP.
(2)解:過(guò)P作PP′∥AB,使得PP′=2,延長(zhǎng)CD到C′,使得CC′=2,連結(jié)AC′,AP′,C′P′,
則直三棱柱PBC-P′AC′所有棱長(zhǎng)均為2,
取P′C′的中點(diǎn)M,連結(jié)AM,則AM⊥平面PCC′P′,
∴∠APM是直線AP與平面PCD所成的角,即∠APM=α,
∵AM=$\sqrt{AP{′}^{2}-P′{M}^{2}}$=$\sqrt{3}$,PA=$\sqrt{P{B}^{2}+A{B}^{2}}$=2$\sqrt{2}$,
∴sinα=sin∠APM=$\frac{AM}{AP}$=$\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{4}$.

點(diǎn)評(píng) 本題考查了面面垂直的判定,直線與平面所成角的計(jì)算,屬于中檔題.

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