Question

20．已知圓x²+y²-4x-6y+9=0與直線y=kx+3相交于A，B兩點，若$|{AB}|≥2\sqrt{3}$，則k的取值范圍是（　�。�

• A． [-$\frac{3}{4}$，0]
• B． [-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\frac{\sqrt{3}}{3}$]
• C． [-$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$]
• D． [-$\frac{2}{3}$，0]

Answer 1

分析 當(dāng)$|{AB}|≥2\sqrt{3}$時，求得圓心到直線的距離，列出不等式，由此求得k的范圍．

解答 解：圓x²+y²-4x-6y+9=0即 （x-2）²+（y-3）²=4，當(dāng)|AB|=2$\sqrt{3}$時，
圓心（2，3）到直線y=kx+3的距離為d=$\frac{|2k-3+3|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\sqrt{{r}^{2}-（\frac{|AB|}{2}）^{2}}$=$\sqrt{4-3}$=1，
故當(dāng)|AB|≥2$\sqrt{3}$時，d=$\frac{|2k-3+3|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$≤1，求得-$\frac{\sqrt{3}}{3}$≤k≤$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
故選：B．

點評 本題主要考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線和圓相交的性質(zhì)，點到直線的距離公式，弦長公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．