Question

2．如圖所示，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，己知棱長(zhǎng)為a，M，N分別是BD和AD的中點(diǎn)，則B₁M與D₁N所成角的余弦值為（　�。�

• A． -$\frac{\sqrt{15}}{15}$
• B． $\frac{\sqrt{30}}{10}$
• C． -$\frac{\sqrt{30}}{10}$
• D． $\frac{\sqrt{15}}{15}$

Answer 1

分析 以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出B₁M與D₁N所成角的余弦值．

解答 解：以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則B₁（a，a，a），M（$\frac{a}{2}，\frac{a}{2}，\frac{a}{2}$），D₁（0，0，a），N（$\frac{a}{2}，0，0$），
$\overrightarrow{{B}_{1}M}$=（-$\frac{a}{2}$，-$\frac{a}{2}$，-$\frac{a}{2}$），$\overrightarrow{{D}_{1}N}$=（$\frac{a}{2}$，0，-a），
設(shè)B₁M與D₁N所成角為θ，
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{{B}_{1}M}•\overrightarrow{{D}_{1}N}|}{|\overrightarrow{{B}_{1}M}|•|\overrightarrow{{D}_{1}N}|}$=$\frac{\frac{1}{4}{a}^{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}a•\frac{\sqrt{5}}{2}a}$=$\frac{\sqrt{15}}{15}$．
∴B₁M與D₁N所成角的余弦值為$\frac{\sqrt{15}}{15}$．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查異面直線所成角的求法，考查抽象概括能力、空間思維能力、運(yùn)算求解能力，考查應(yīng)用意識(shí)、創(chuàng)新意識(shí)，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想，是基礎(chǔ)題．