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4.已知點P(x,y)滿足不等式組{3x+y70xy10x+y50,則z=x2+xy+y2xy的范圍是[3,174].

分析 利用分式函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合換元法設(shè)t=yx,進行轉(zhuǎn)化,然后作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域,利用線性規(guī)劃的知識進行求解即可.

解答 解:z=x2+xy+y2xy=xy+yx+1,
設(shè)t=yx,則z=xy+yx+1=1t+t+1,
作出不等式組{3x+y70xy10x+y50,對應(yīng)的平面區(qū)域如圖:
則t=yx的幾何意義是區(qū)域內(nèi)的點到原點的斜率,
由圖象知OC的斜率最小,OB的斜率最大,
{3x+y7=0x+y5=0得A(1,4),此時OA的斜率t=41=4,
{xy1=03x+y7=0得B(2,1),此時OB的斜率t=12
12≤t≤4,
∵y=t+1t+1在12≤t≤1上遞減,在1≤t≤4遞增,
∴當(dāng)t=1時,函數(shù)取得最小值y=1+1+1=3,
當(dāng)t=4或12時,y=4+14+1=174,y=2+12+1=72
即3≤z≤174,
即z=x2+xy+y2xy的取值范圍是[3,174],
故答案為:[3,174].

點評 本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用,根據(jù)分式的性質(zhì),利用換元法進行轉(zhuǎn)化結(jié)合基本不等式的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵.綜合性較強,難度較大.

練習(xí)冊系列答案
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點擊量[0,1000](1000,3000](3000,+∞)
節(jié)數(shù)61812
(Ⅰ)現(xiàn)從36節(jié)云課中采用分層抽樣的方式選出6節(jié),求選出的點擊量超過3000的節(jié)數(shù).
(Ⅱ)為了更好地搭建云課平臺,現(xiàn)將云課進行剪輯,若點擊量在區(qū)間[0,1000]內(nèi),則需要花費40分鐘進行剪輯,若點擊量在區(qū)間(1000,3000]內(nèi),則需要花費20分鐘進行剪輯,點擊量超過3000,則不需要剪輯,現(xiàn)從(Ⅰ)中選出的6節(jié)課中任意取出2節(jié)課進行剪輯,求剪輯時間為40分鐘的概率.

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14.已知x與y之間的一組數(shù)據(jù):
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