Question

4．已知點P（x，y）滿足不等式組$\left\{\begin{array}{l}{3x+y-7≥0}\\{x-y-1≤0}\\{x+y-5≤0}\end{array}\right.$，則z=$\frac{{x}^{2}+xy+{y}^{2}}{xy}$的范圍是[3，$\frac{17}{4}$]．

Answer 1

分析 利用分式函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合換元法設(shè)t=$\frac{y}{x}$，進行轉(zhuǎn)化，然后作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，利用線性規(guī)劃的知識進行求解即可．

解答 解：z=$\frac{{x}^{2}+xy+{y}^{2}}{xy}$=$\frac{x}{y}$+$\frac{y}{x}$+1，
設(shè)t=$\frac{y}{x}$，則z=$\frac{x}{y}$+$\frac{y}{x}$+1=$\frac{1}{t}+t+1$，
作出不等式組$\left\{\begin{array}{l}{3x+y-7≥0}\\{x-y-1≤0}\\{x+y-5≤0}\end{array}\right.$，對應(yīng)的平面區(qū)域如圖：
則t=$\frac{y}{x}$的幾何意義是區(qū)域內(nèi)的點到原點的斜率，
由圖象知OC的斜率最小，OB的斜率最大，
由$\left\{\begin{array}{l}{3x+y-7=0}\\{x+y-5=0}\end{array}\right.$得A（1，4），此時OA的斜率t=$\frac{4}{1}$=4，
由$\left\{\begin{array}{l}{x-y-1=0}\\{3x+y-7=0}\end{array}\right.$得B（2，1），此時OB的斜率t=$\frac{1}{2}$，
即$\frac{1}{2}$≤t≤4，
∵y=t+$\frac{1}{t}$+1在$\frac{1}{2}$≤t≤1上遞減，在1≤t≤4遞增，
∴當(dāng)t=1時，函數(shù)取得最小值y=1+1+1=3，
當(dāng)t=4或$\frac{1}{2}$時，y=4+$\frac{1}{4}$+1=$\frac{17}{4}$，y=2+$\frac{1}{2}+1$=$\frac{7}{2}$．
即3≤z≤$\frac{17}{4}$，
即z=$\frac{{x}^{2}+xy+{y}^{2}}{xy}$的取值范圍是[3，$\frac{17}{4}$]，
故答案為：[3，$\frac{17}{4}$]．

點評 本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，根據(jù)分式的性質(zhì)，利用換元法進行轉(zhuǎn)化結(jié)合基本不等式的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強，難度較大．