Question

15．正項數(shù)列{a_n}滿足a₁=$\frac{1}{4}$，a₁+a₂+…+a_n=2a_na_n+1，則通項a_n=$\frac{n}{4}$．

Answer 1

分析 由已知數(shù)列遞推式可得數(shù)列{a_n}的奇數(shù)項與偶數(shù)項均為等差數(shù)列且公差都為$\frac{1}{2}$．分類寫出通項公式得答案．

解答 解：由a₁+a₂+…+a_n=2a_na_n+1，得S_n=2a_na_n+1，
當n≥2時，S_n-1=2a_n-1a_n，兩式相減得a_n=2a_n（a_n+1-a_n-1），
即${a}_{n+1}-{a}_{n-1}=\frac{1}{2}$，
又a₁=$\frac{1}{4}$，a₁+a₂+…+a_n=2a_na_n+1，得${a}_{2}=\frac{1}{2}$．
∴數(shù)列{a_n}的奇數(shù)項與偶數(shù)項均為等差數(shù)列且公差都為$\frac{1}{2}$．
則當n為奇數(shù)時，${a}_{n}=\frac{1}{4}+（\frac{n+1}{2}-1）×\frac{1}{2}=\frac{n}{4}$，
當n為偶數(shù)時，${a}_{n}=\frac{1}{2}+（\frac{n}{2}-1）×\frac{1}{2}=\frac{n}{4}$．
∴${a}_{n}=\frac{n}{4}$．
故答案為：$\frac{n}{4}$．

點評 本題考查數(shù)列遞推式，考查等差關系的確定，訓練了等差數(shù)列通項公式的求法，是中檔題．