Question

17．已知函數(shù)f（x）=x²+（a+1）x+（a+2）
（1）若f（x）能表示成一個奇函數(shù)g（x）和一個偶函數(shù)h（x）的和，求g（x）和h（x）的解析式．
（2）命題p：函數(shù)f（x）在區(qū)間[（a+1）²，+∞）上是增函數(shù)；命題q：函數(shù)g（x）是減函數(shù)．如果命題￢p，p∨q都是假命題，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由$\left\{\begin{array}{l}f（x）=g（x）+h（x）\\ f（-x）=-g（x）+h（x）\end{array}\right.$得g（x）和h（x）的解析式．
（2）要使命題?p，p∨q都是假命題，即p真q假，分別求出相應命題為真時，a的范圍，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）由$\left\{\begin{array}{l}f（x）=g（x）+h（x）\\ f（-x）=-g（x）+h（x）\end{array}\right.$得，
$g（x）=\frac{f（x）-f（-x）}{2}=（a+1）x$，$h（x）=\frac{f（x）+f（-x）}{2}={x^2}+a+2$．
（2）由p真得，$-\frac{a+1}{2}≤{（a+1）^2}$，即$a≤-\frac{3}{2}$或a≥-1．
由q真得，a＜-1．
要使命題?p，p∨q都是假命題，即p真q假．
所以a∈[-1，+∞）．

點評 本題考查函數(shù)解析式的求解，考查復合命題真假的運用，考查學生的計算能力，屬于中檔題．