Question

19．已知向量$\overrightarrow a=（{-2，2}）$，$\overrightarrow b=（{5，m}）$，且|$\overrightarrow a+\overrightarrow b|$不超過(guò)5，則函數(shù)f（x）=$\sqrt{3}$cosx-sinx+m有零點(diǎn)的概率是（　�。�

• A． $\frac{3}{4}$
• B． $\frac{2}{3}$
• C． $\frac{3}{5}$
• D． $\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 先根據(jù)向量的模求出m的范圍，再根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)和函數(shù)零點(diǎn)存在定理求出m的范圍，根據(jù)幾何概率公式計(jì)算即可．

解答 解：∵向量$\overrightarrow a=（{-2，2}）$，$\overrightarrow b=（{5，m}）$，
∴$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$=（3，2+m），
∴|$\overrightarrow a+\overrightarrow b|$=$\sqrt{{3}^{2}+（2+m）^{2}}$，
∵|$\overrightarrow a+\overrightarrow b|$不超過(guò)5，
∴9+（2+m）²≤25，
解得-6≤m≤2，
∵函數(shù)f（x）=$\sqrt{3}$cosx-sinx+m有零點(diǎn)，
∴m=sinx-$\sqrt{3}$cosx=2sin（x-$\frac{π}{3}$），
∵-2≤2sin（x-$\frac{π}{3}$）≤2，
∴-2≤m≤2，
∴函數(shù)f（x）=$\sqrt{3}$cosx-sinx+m有零點(diǎn)的概率是$\frac{2+2}{2+6}$=$\frac{1}{2}$，
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了向量的模的計(jì)算，三角函數(shù)的化簡(jiǎn)和性質(zhì)以及函數(shù)零點(diǎn)，屬于中檔題．