Question

19．設(shè)函數(shù)f（x）=|x-2|+|x-a|．
（Ⅰ）若a=-2，解不等式f（x）≥5；
（Ⅱ）如果當(dāng)x∈R時(shí)，f（x）≥3-a，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)題意，將a=-2代入f（x）的解析式可得f（x）=|x-2|+|x+2|，用零點(diǎn)分段討論法分析可得答案；
（Ⅱ）用絕對(duì)值不等式的性質(zhì)分析可得|x-2|+|x-a|≥|x-2-（x-a）|=|a-2|，進(jìn)而可以將f（x）≥3-a轉(zhuǎn)化為|a-2|≥3-a，分a≥2與a＜2分別討論|a-2|≥3-a的解集，綜合即可得答案．

解答 解：（Ⅰ）當(dāng)a=-2時(shí)，f（x）=|x-2|+|x+2|，
①當(dāng)x≤-2時(shí)，原不等式化為：-2x≥5，解得$x≤-\frac{5}{2}$，從而$x≤-\frac{5}{2}$；
②當(dāng)-2＜x≤2時(shí)，原不等式化為：4≥5，無(wú)解；
③當(dāng)x＞2時(shí)，原不等式化為：2x≥5，解得$x≥\frac{5}{2}$，從而$x≥\frac{5}{2}$；
綜上得不等式的解集為$\left\{{x\left|{x≤-\frac{5}{2}或x≥\frac{5}{2}}\right.}\right\}$．
（Ⅱ）當(dāng)x∈R時(shí)，|x-2|+|x-a|≥|x-2-（x-a）|=|a-2|，
所以當(dāng)x∈R時(shí)，f（x）≥3-a等價(jià)于|a-2|≥3-a-----（①）
當(dāng)a≥2時(shí)，①等價(jià)于a-2≥3-a，解得$a≥\frac{5}{2}$，從而$a≥\frac{5}{2}$；
當(dāng)a＜2時(shí)，①等價(jià)于2-a≥3-a，無(wú)解；
故所求a的取值范圍為$[\frac{5}{2}，+∞）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查絕對(duì)值不等式的解法，關(guān)鍵是利用零點(diǎn)分段討論法將原絕對(duì)值不等式轉(zhuǎn)化為一般的不等式．