Question

9．若點(diǎn)A（1，-2），B（2，1）在矩陣M的變換下分別得到點(diǎn)A'（2，-6），B'（4，3）．
（Ⅰ）求矩陣M；
（Ⅱ）若曲線C在M的作用下的新曲線為$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1$，求曲線C的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先設(shè)出所求矩陣，利用待定系數(shù)法建立一個(gè)四元一次方程組，解方程組即可；
（Ⅱ）先設(shè)P（x，y）是曲線C上的任一點(diǎn)，P₁（x′，y′）是P（x，y）在矩陣T對(duì)應(yīng)變換作用下新曲線上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，根據(jù)矩陣變換求出P與P₁的關(guān)系，代入已知曲線求出所求曲線即可．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)矩陣M=$[\begin{array}{l}{a}&\\{c}&yzjkldv\end{array}]$，根據(jù)題意得$[\begin{array}{l}{a}&\\{c}&jveyoyx\end{array}]$$[\begin{array}{l}{x}\\{y}\end{array}]$=$[\begin{array}{l}{x′}\\{y′}\end{array}]$，則$\left\{\begin{array}{l}{x′=ax+by}\\{y′=cx+dy}\end{array}\right.$，
則$\left\{\begin{array}{l}{a-2b=2}\\{c-2d=-6}\\{2a+b=4}\\{2c+d=3}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=0}\\{c=0}\\{d=3}\end{array}\right.$，
∴矩陣M=$[\begin{array}{l}{2}&{0}\\{0}&{3}\end{array}]$；
（Ⅱ）變換T所對(duì)應(yīng)關(guān)系$\left\{\begin{array}{l}{x′=2x}\\{y′=3y}\end{array}\right.$，代入$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1$，整理得：x²+y²=1．
∴曲線C的方程x²+y²=1．（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查來(lái)了逆矩陣與投影變換，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．