Question

4．已知四面體ABCD中，△ABC，△BCD都是邊長為2的正三角形，當(dāng)四面體ABCD的體積最大時(shí)，它的外接球的表面積為$\frac{20π}{3}$．

Answer 1

分析 首先判定當(dāng)AF⊥面BCD時(shí)，四面體ABCD的體積最大，設(shè)O為四面體ABCD外接球的球心，O₁，O₂分別為△ABC，△BCD的外接圓的圓心．可得四面體ABCD外接球的半徑R=$\sqrt{O{{O}_{2}}^{2}+{O}_{2}{D}^{2}}=\sqrt{\frac{5}{3}}$，即可求得外接球的表面積

解答 解：如圖，取BC中點(diǎn)F，連接AF，DF，
∵△ABC與△BCD都是正三角形，∴BC⊥AF，BC⊥DF，AF∩DF=F；
∴BC⊥平面ADF，BC?平面BCD；
∴平面BCD⊥平面ADF，過A作AH⊥DF，垂足為H，則AH⊥平面BCD，即線段AH的長是點(diǎn)A到平面BCD的距離；∴當(dāng)AF⊥面BCD時(shí)，四面體ABCD的體積最大，
     設(shè)O為四面體ABCD外接球的球心，O₁，O₂分別為△ABC，△BCD的外接圓的圓心．
∴OO₁⊥平面ABC，OO₂⊥平面BCD，且O₁F=O₂F=OO₁=OO₂=2×sin60°×$\frac{1}{3}$=$\frac{1}{\sqrt{3}}$，
${O}_{2}C={O}_{2}D=\frac{2}{\sqrt{3}}$，∴四面體ABCD外接球的半徑R=$\sqrt{O{{O}_{2}}^{2}+{O}_{2}{D}^{2}}=\sqrt{\frac{5}{3}}$
外接球的表面積為4πR²=$\frac{20π}{3}$

故答案為：$\frac{20π}{3}$

點(diǎn)評 本小題主要考查球的內(nèi)接幾何體的相關(guān)計(jì)算問題，對考生的空間想象能力與運(yùn)算求解能力以及數(shù)形結(jié)合思想都提出很高要求，屬于難題．