Question

18．已知函數(shù)f（x）=|x+2|+|x-1|
（Ⅰ）求不等式f（x）＜5的解集
（Ⅱ）若對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x恒有f（x）≥|a-1|成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）把要解的不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為與之等價(jià)的三個(gè)不等式組，求出每個(gè)不等式組的解集，再取并集，即得所求
（Ⅱ）利用絕對(duì)值三角不等式，求得f（x）的最小值，再根據(jù)此最小值大于或等于|a-1|，解絕對(duì)值不等式，求得實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）不等式f（x）＜5，即|x+2|+|x-1|＜5．
∴$\left\{\begin{array}{l}{x＜-2}\\{-x-2+1-x＜5}\end{array}\right.$ ①，或$\left\{\begin{array}{l}{-2≤x≤1}\\{x+2+1-x＜5}\end{array}\right.$②，或$\left\{\begin{array}{l}{x＞1}\\{x+2+x-1＜5}\end{array}\right.$③．
解①求得-3＜x＜-2，解②求得-2≤x≤1，解③求得1＜x＜2．
綜上可得，不等式的解集為{x|-3＜x＜2}．
（Ⅱ）∵f（x）=|x+2|+|x-1|≥|x+2-（x-1）|=3，
對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x恒有f（x）≥|a-1|成立，∴3≥|a-1|，∴-3≤a-1≤3，
∴-2≤a≤4，即實(shí)數(shù)a的取值范圍為[-2，4]．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查絕對(duì)值不等式的解法，絕對(duì)值三角不等式的應(yīng)用，函數(shù)的恒成立問題，屬于中檔題．