Question

14．在棱長(zhǎng)為a的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁內(nèi)有一個(gè)內(nèi)切球O，過正方體中兩條互為異面直線的AA₁，BC的中點(diǎn)P、Q作直線，該直線被球面截在球內(nèi)的線段的長(zhǎng)為（　�。�

• A． $\frac{\sqrt{2}}{2}$a
• B． $\frac{1}{2}$a
• C． $\frac{1}{4}$a
• D． （$\sqrt{2}$-1）a

Answer 1

分析 推導(dǎo)出△OPQ是等腰三角形，且|OP|=|OQ|=$\frac{\sqrt{2}}{2}$$\sqrt{a}$，求出|PQ|=$\frac{\sqrt{6}}{2}a$，則O到PQ的距離d=$\frac{a}{2\sqrt{2}}$，由此能求出直線PQ被球面截在球內(nèi)的線段長(zhǎng)．

解答 解：如圖，在棱長(zhǎng)為a的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁內(nèi)有一個(gè)內(nèi)切球O，
過正方體中兩條互為異面直線的AA₁，BC的中點(diǎn)P、Q作直線，
直線PQ被球面截在球內(nèi)的線段為MN，
則△OPQ是等腰三角形，且|OP|=|OQ|=$\frac{\sqrt{2}}{2}$$\sqrt{a}$，
∵|PQ|=$\sqrt{A{P}^{2}+A{Q}^{2}}$=$\sqrt{\frac{{a}^{2}}{4}+（{a}^{2}+\frac{{a}^{2}}{4}）}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}a$，
∴O到PQ的距離為d=$\sqrt{（\frac{\sqrt{2}}{2}a）^{2}-（\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{6}}{2}a）^{2}}$=$\frac{a}{2\sqrt{2}}$，
∴直線PQ被球面截在球內(nèi)的線段MN=2$\sqrt{（\frac{a}{2}）^{2}-（\frac{a}{2\sqrt{2}}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線段長(zhǎng)的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．