Question

17．已知函數(shù)f（x）=|x-a|+|x+2|
（1）當a=3時，求不等式f（x）≥7的解集；
（2）若f（x）≤x+4的解集包含[1，2]，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由題意利用絕對值的意義，求得不等式f（x）≥7的解集．
（2）原命題等價于-2≤a-x≤2在[1，2]上恒成立，即 x-2≤a≤x+2在[1，2]上恒成立，由此求得a的范圍．

解答 解：（1）當a=3時，f（x）≥7?|x-3|+|x+2|≥7．
由絕對值的幾何意義得，f（x）表示數(shù)軸上的x對應點到3、-2對應點的距離之和，
而4和-3對應點到3、-2對應點的距離之和正好等于7，
故不等式|x-3|+|x+2|≥7 的解集為{x|x≤-3或x≥4}．
（2）f（x）≤x+4的解集包含[1，2]，?f（x）≤x+4在[1，2]上恒成立，
?|x-a|+|x+2|≤x+4在[1，2]上恒成立，?當1≤x≤2時，|x-a|+|x+2|≤x+4恒成立，
?當1≤x≤2時，|x-a|+x+2≤x+4恒成立，?當1≤x≤2時，|x-a|≤2 恒成立，
?當1≤x≤2時，-2≤x-a≤2 恒成立，?當1≤x≤2時，-2≤a-x≤2，?x-2≤a≤x+2在[1，2]上恒成立，
?2-2≤a≤1+2，?0≤a≤3，
故a的取值范圍是a∈[0，3]．

點評 本題主要考查絕對值的意義，絕對值不等式的解法，函數(shù)的恒成立問題，屬于中檔題．