Question

7．設三角形ABC的內角A，B，C所對的邊長分別是a，b，c，且$B=\frac{π}{3}$，若△ABC不是鈍角三角形，則$\frac{2a}{c}$的取值范圍是（1，4]．

Answer 1

分析 先求得C的范圍，由正弦定理及兩角和的正弦函數公式化簡$\frac{2a}{c}$為1+$\frac{\sqrt{3}cosC}{sinC}$，由角C越大，$\frac{2a}{c}$越小，求得$\frac{2a}{c}$的取值范圍．

解答 解：三角形ABC中，∵$B=\frac{π}{3}$，若△ABC不是鈍角三角形，由A+C=$\frac{2π}{3}$，
可得$\frac{π}{6}$＜C≤$\frac{π}{2}$．
利用正弦定理可得$\frac{2a}{c}$=$\frac{2sinA}{sinC}$=$\frac{2sin（B+C）}{sinC}$=$\frac{sinC+\sqrt{3}cosC}{sinC}$=1+$\frac{\sqrt{3}cosC}{sinC}$，
顯然，角C越大，$\frac{2a}{c}$越�。�
當C=$\frac{π}{2}$時，cosC=0，則$\frac{2a}{c}$=1；當$\frac{π}{6}$＜C＜$\frac{π}{2}$時，$\frac{2a}{c}$=1+$\frac{\sqrt{3}}{tanC}$∈（1，4）．
綜上可得，$\frac{2a}{c}$∈（1，4]，
故答案為：（1，4]．

點評 本題主要考查了三角形內角和定理，正弦定理及兩角和的正弦函數公式的應用，屬于基本知識的考查，屬于中檔題．