Question

18．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0）的離心率為$\frac{3}{5}$，且短軸長(zhǎng)為8
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)F₁、F₂分別為橢圓C的左、右焦點(diǎn)，過(guò)F₂的直線l與橢圓C交于不同兩點(diǎn)M，N，若△F₁MN的內(nèi)切圓周長(zhǎng)為π，M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），求|y₁-y₂|的值．

Answer 1

分析 （1）由橢圓的離心率及b=4，即可求得橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）由△F₁MN的內(nèi)切圓周長(zhǎng)為π，求得內(nèi)切圓的半徑，根據(jù)三角形的面積公式$\frac{1}{2}$（|MN|+|MF₁|+|NF₁|）r=$\frac{1}{2}$|F₁F₂|•|y₁-y₂|，即可求得|y₁-y₂|的值．

解答 解：（1）由橢圓的離心率2b=8，b=4，e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{3}{5}$，則a=5，
∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程$\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{16}=1$；
（2）由（1）可知：F₂（3，0），F(xiàn)₁（-3，0），則|F₁F₂|=6，
△F₁MN的內(nèi)切圓半徑為r，由2πr=π，則r=$\frac{1}{2}$，
△F₁MN的面積S=$\frac{1}{2}$（|MN|+|MF₁|+|NF₁|）×$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$×4a×$\frac{1}{2}$=5，
由△F₁MN的面積S=$\frac{1}{2}$|F₁F₂|•|y₁-y₂|=$\frac{1}{2}$×6×|y₁-y₂|=3|y₁-y₂|，則|y₁-y₂|=$\frac{5}{3}$，
則|y₁-y₂|的值$\frac{5}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，三角形的面積公式，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．