Question

16．已知各項均不相等的等差數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，且a₁，a₂，a₅成等比數(shù)列．
（1）求{a_n}的通項公式；
（2）若b_n=（-1）ⁿ$\frac{{a}_{n}+{a}_{n+1}}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$（n∈N^*），求數(shù)列{b_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析 （1）設各項均不相等的等差數(shù)列{a_n}的公差為d，由等差數(shù)列的通項公式和等比數(shù)列中項的性質，解方程可得d=2，進而得到所求通項公式；
（2）求得b_n=（-1）ⁿ•$\frac{4n}{（2n-1）（2n+1）}$=（-1）ⁿ•（$\frac{1}{2n-1}$+$\frac{1}{2n+1}$），再分n為偶數(shù)和奇數(shù)，運用裂項相消求和，化簡整理即可得到所求和．

解答 解：（1）設各項均不相等的等差數(shù)列{a_n}的公差為d，滿足a₁=1，
且a₁，a₂，a₅成等比數(shù)列，
可得a₂²=a₁a₅，即（1+d）²=1+4d，
解得d=2（0舍去），
則a_n=1+2（n-1）=2n-1（n∈N^*）；
（2）b_n=（-1）ⁿ$\frac{{a}_{n}+{a}_{n+1}}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=（-1）ⁿ•$\frac{4n}{（2n-1）（2n+1）}$
=（-1）ⁿ•（$\frac{1}{2n-1}$+$\frac{1}{2n+1}$），
當n為偶數(shù)時，前n項和S_n=（-1-$\frac{1}{3}$）+（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$）+（-$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{7}$）+…+（$\frac{1}{2n-1}$+$\frac{1}{2n+1}$）
=-1+$\frac{1}{2n+1}$=-$\frac{2n}{2n+1}$；
當n為奇數(shù)時，n-1為偶數(shù)，前n項和S_n=S_n-1+（-$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$）
=-$\frac{2（n-1）}{2n-1}$+（-$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$）=-$\frac{2n+2}{2n+1}$．
則S_n=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{2n}{2n+1}，n為偶數(shù)}\\{-\frac{2n+2}{2n+1}，n為奇數(shù)}\end{array}\right.$．

點評 本題考查等差數(shù)列的通項公式的運用，等比數(shù)列中項的性質，考查數(shù)列的求和，注意運用分類討論和裂項相消求和，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．