Question

16．若中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸的橢圓經(jīng)過點(diǎn)（4，0），離心率為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，分橢圓的焦點(diǎn)在x軸和焦點(diǎn)在y軸兩種情況進(jìn)行討論，每種情況下利用橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)直接分析，求出a²、b²的值，代入橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即可得答案．

解答 解：根據(jù)題意，分2種情況討論：
①、若橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，
由題意知a=4，則e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，則c=2$\sqrt{3}$，
則有b²=a²-c²=4，
此時(shí)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1；
②、若橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，
由題意知b=4，
有$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}-{c}^{2}=16}\\{e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}}\end{array}\right.$，
解可得a²=64；
此時(shí)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：$\frac{{y}^{2}}{64}$+$\frac{{x}^{2}}{16}$=1；
故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1或$\frac{{y}^{2}}{64}$+$\frac{{x}^{2}}{16}$=1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，注意需要對(duì)橢圓的焦點(diǎn)位置分情況討論．