Question

14．如圖，三棱錐A-BCD中，△BCD為等邊三角形，AC=AD，E為CD的中點(diǎn)；
（1）求證：CD⊥平面ABE；
（2）設(shè)AB=3，CD=2，若AE⊥BC，求三棱錐A-BCD的體積．

Answer 1

分析 （1）推導(dǎo)出BE⊥CD，AE⊥CD，由此能證明CD⊥平面ABE．
（2）推導(dǎo)出AE⊥平面BCD，由此能求出三棱錐A-BCD的體積．

解答 證明：（1）∵三棱錐A-BCD中，△BCD為等邊三角形，
AC=AD，E為CD的中點(diǎn)，
∴BE⊥CD，AE⊥CD，
又AE∩BE=E，∴CD⊥平面ABE．
解：（2）由（1）知AE⊥CD，
又AE⊥BC，BC∩CD=C，
∴AE⊥平面BCD，
∵AB=3，CD=2，
∴三棱錐A-BCD的體積：
$V=\frac{1}{3}×{S}_{△BCD}×AE$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×2×\frac{\sqrt{3}}{2}×\sqrt{6}$=$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評 本題考查線面垂直的證明，考查三棱錐的體積的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．