Question

19．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且bsinA=$\sqrt{3}$acosB
（1）求角B的大��；
（2）若b=$\sqrt{3}$，求△ABC周長(zhǎng)的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由正弦定理化簡(jiǎn)已知可得：sinBsinA=$\sqrt{3}$sinAcosB，得tanB=$\sqrt{3}$，即可求B的值．
（2）利用及余弦定理，基本不等式可得（a+c）²≤12，再根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊，從而可求三角形周長(zhǎng)的范圍

解答 解：（1）∵bsinA=$\sqrt{3}$acosB，
由正弦定理可得：sinBsinA=$\sqrt{3}$sinAcosB，即得tanB=$\sqrt{3}$，
∴B=$\frac{π}{3}$
（2）b=$\sqrt{3}$，由余弦定理，得b²=a²+c²-2accosB=a²+c²-ac=（a+c）²-3ac
≥（a+c）²-3（$\frac{a+c}{2}$）²=$\frac{1}{4}$（a+c）²，當(dāng)且僅當(dāng)a=c時(shí)，等號(hào)成立
∴（a+c）²≤12，
∴a+c≤2$\sqrt{3}$，
∵a+c＞b=$\sqrt{3}$
∴2$\sqrt{3}$＜a+c+b≤3$\sqrt{3}$，
∴△ABC周長(zhǎng)的取值范圍為（2$\sqrt{3}$，3$\sqrt{3}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了正弦定理，余弦定理，基本不等式，特殊角的三角函數(shù)值在解三角形中的應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．