Question

4．假設關于某設備的使用年限x和所支出的維修費用y（萬元），有如下的統(tǒng)計資料：

使用年限x	2	3	4	5	6
維修費用y	2.2	3.8	5.5	6.5	7.0

若由資料知，y對x呈線性相關關系，試求：
（1）線性回歸方程$\stackrel{∧}{y}$=$\stackrel{∧}$x+$\stackrel{∧}{a}$的回歸系數(shù)a、b；

i	1	2	3	4	5	合計
xi	2	3	4	5	6	20
yi	2.2	3.8	5.5	6.5	7.0	25
xiyi	4.4	11.4	22.0	32.5	42	112.3
?${x_i}^2$	4	9	16	25	36	90
?$\overline{x}=4$；?$\overline{y}=5$；?$\sum_{i=1}^n{{x_i}^2}=90$；$\sum_{i=1}^n{{x_i}{y_i}}=112.3$

（2）估計使用年限為10年時，維修費用是多少？
在線性回歸方程$\stackrel{∧}{y}$=$\stackrel{∧}$x+$\stackrel{∧}{a}$中，$\hat b=\frac{{\sum_{i=1}^n{{x_i}{y_i}-n\overline x\overline y}}}{{\sum_{i=1}^n{x_i^2-n{{\overline x}^2}}}}$．

Answer 1

分析 （1）由題意首先結合公式求得$\hat$，然后利用$\widehat{a}=\overline{y}-\widehat\overline{x}$ 求得$\hat{a}$ 的值即可；
（2）利用回歸方程的預測作用，將x=10代入回歸直線方程即可求得使用年限為10年時的維修費用．

解答 解：（1）由題意可得：$\widehat=\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}=\frac{112.3-5×4×5}{90-5×{4}^{2}}=1.23$，$\widehat{a}=\overline{y}-\widehat\overline{x}=0.08$．
（2）結合（1）的結論可得：$\hat{y}=1.23x+0.08$，據(jù)此預測使用年限為10年時，維修費用是 y=1.23×10+0.08=12.38萬元．

點評 本題考查了線性回歸方程的實際應用，線性回歸方程的性質等，重點考查學生的計算能力和對基礎概念的理解，屬于中等題．