Question

9．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知O（0，0），A（$\frac{15}{4}$，0），曲線C上任一點(diǎn)M滿足|OM|=4|AM|，點(diǎn)P在直線y=$\sqrt{2}$（x-1）上，如果曲線C上總存在兩點(diǎn)到點(diǎn)P的距離為2，那么點(diǎn)P的橫坐標(biāo)t的范圍是（　�。�

• A． 1＜t＜3
• B． 1＜t＜4
• C． 2＜t＜3
• D． 2＜t＜4

Answer 1

分析 易得曲線C：（x-4）²+y²=1．設(shè)點(diǎn)P（t，$\sqrt{2}$（t-1）），只需點(diǎn)P到圓心（4，0）的距離小于2+r即可，即（t-4）²+2（t-1）²＜（2+1）²，解得t的范圍．

解答 解：設(shè)M（x，y），∵M(jìn)滿足|OM|=4|AM|，
∴${x}^{2}+{y}^{2}=16[（x-\frac{15}{4}）^{2}+{y}^{2}]$化簡(jiǎn)得：（x-4）²+y²=1
∴曲線C：（x-4）²+y²=1
設(shè)點(diǎn)P（t，$\sqrt{2}$（t-1）），只需點(diǎn)P到圓心（4，0）的距離小于2+r即可．
∴（t-4）²+2（t-1）²＜（2+1）²．
解得：1＜t＜3．
故選：A

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓的方程的應(yīng)用，直線與圓的位置關(guān)系，考查分析問題解決問題的能力．屬于中檔題，