Question

10．如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，平面PAD⊥底面ABCD，且△PAD是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，PC=$\sqrt{13}$，M在PC上，且PA∥面MBD．
（1）求證：M是PC的中點(diǎn)；
（2）求多面體PABMD的體積．

Answer 1

分析 （1）連AC交BD于E，連ME．推導(dǎo)出PA∥ME，由此能證明M是PC的中點(diǎn)．
（2）取AD中點(diǎn)O，連OC．則PO⊥AD，從而PO⊥面ABCD，由此能求出多面體PABMD的體積．

解答 證明：（1）連AC交BD于E，連ME．
∵ABCD是矩形，∴E是AC中點(diǎn)．
又PA∥面MBD，且ME是面PAC與面MDB的交線，
∴PA∥ME，
∴M是PC的中點(diǎn)．
解：（2）取AD中點(diǎn)O，連OC．則PO⊥AD，
由平面PAD⊥底面ABCD，得PO⊥面ABCD，
∴$PO⊥OC，OC=\sqrt{13-3}=\sqrt{10}$，∴$CD=\sqrt{10-1}=3$，
∴${V_{P-ABCD}}=\frac{1}{3}•2•3•\sqrt{3}=2\sqrt{3}，{V_{M-BCD}}=\frac{1}{3}•\frac{1}{2}•2•3•\frac{{\sqrt{3}}}{2}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
∴${V_{PABMD}}=2\sqrt{3}-\frac{{\sqrt{3}}}{2}=\frac{{3\sqrt{3}}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查點(diǎn)是線段的中點(diǎn)的證明，考查多面體的體積的求法，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力、空間思維能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化化歸思想，是中檔題．