Question

3．已知$cos（θ+\frac{π}{4}）=\frac{3}{5}$，其中θ為銳角﹒
（1）求tanθ的值；
（2）求$\frac{{{{cos}^2}θ+sin2θ}}{{{{sin}^2}θ+1}}$的值﹒

Answer 1

分析 （1）利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，以及三角函數(shù)在各個(gè)象限中的符號(hào)，求得tanθ的值；
（2）利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，二倍角公式，求得$\frac{{{{cos}^2}θ+sin2θ}}{{{{sin}^2}θ+1}}$的值﹒

解答 解：（1）∵θ為銳角，$cos（θ+\frac{π}{4}）=\frac{3}{5}$，∴$θ+\frac{π}{4}∈（{\frac{π}{4}，\frac{3π}{4}}）$，∴$sin（θ+\frac{π}{4}）=\frac{4}{5}$，$tan（θ+\frac{π}{4}）=\frac{4}{3}$．
∴$tanθ=tan[{（θ+\frac{π}{4}）-\frac{π}{4}}]=\frac{{tan（θ+\frac{π}{4}）-tan\frac{π}{4}}}{{1+tan（θ+\frac{π}{4}）•tan\frac{π}{4}}}=\frac{1}{7}$．
（2）$\frac{{{{cos}^2}θ+sin2θ}}{{{{sin}^2}θ+1}}$=$\frac{{{{cos}^2}θ+2sinθ•cosθ}}{{2{{sin}^2}θ+{{cos}^2}θ}}=\frac{2tanθ+1}{{2{{tan}^2}θ+1}}=\frac{21}{17}$．

點(diǎn)評 本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，以及三角函數(shù)在各個(gè)象限中的符號(hào)、二倍角公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．