Question

9．設(shè)y=f（x）是二次函數(shù)，方程f（x）=0有兩個相等的實根，且f'（x）=2x+2．
（1）求y=f（x）的表達式；
（2）若直線x=-t（0＜t＜1）把y=f（x）的圖象與兩條坐標軸所圍成的圖形分成面積相等的兩部分，求t的值．

Answer 1

分析 （1）設(shè)f（x）=x²+2x+n，根據(jù)△=0求出n即可；
（2）根據(jù)定積分的幾何意義列方程解出t．

解答 解：（1）∵f'（x）=2x+2，∴f（x）=x²+2x+n（n為常數(shù)），
∵f（x）=0有兩個相等的實根，∴4-4n=0，即n=1，
∴f（x）=x²+2x+1．
（2）f（x）與x軸的交點為（-1，0），與y軸的交點為（0，1），
∴y=f（x）的圖象與兩條坐標軸所圍成的圖形面積S=${∫}_{-1}^{0}$（x²+2x+1）dx=（$\frac{{x}^{3}}{3}+{x}^{2}+x$）${|}_{-1}^{0}$=$\frac{1}{3}$，
∵直線x=-t（0＜t＜1）把y=f（x）的圖象與兩條坐標軸所圍成的圖形分成面積相等的兩部分，
∴${∫}_{-t}^{0}$（x²+2x+1）dx=$\frac{1}{6}$，即$\frac{1}{3}$t³-t²+t=$\frac{1}{6}$，∴2（t-1）³=-1，∴t=1-$\frac{1}{\root{3}{2}}$．

點評 本題主要考查用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，導(dǎo)數(shù)的運算，定積分的應(yīng)用，屬于中檔題．