Question

10．數(shù)列{a_n}中，a₁=$\frac{1}{3}$，a_n+1=$\frac{2{a}_{n}-1}{{a}_{n}}$（n∈N^*），數(shù)列{b_n}滿足b_n=$\frac{1}{{a}_{n}-1}$．
（1）求數(shù)列{b_n}中前四項；
（2）求證：數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列；
（3）若c_n=（a_n+2）（$\frac{10}{9}$）ⁿ，試判斷數(shù)列{c_n}是否有最小值，若有最小項，求出最小項．

Answer 1

分析 （1）由代入法，分別求出a₁，a₂，a₃，a₄，即可得到b₁，b₂，b₃，b₄；
（2）當n≥2，n∈N^*，將n換為n-1，可得b_n=1+$\frac{1}{{a}_{n-1}-1}$=1+b_n-1，由等差數(shù)列的定義，即可得證；
（3）求得b_n=n-$\frac{5}{2}$，即有a_n=$\frac{2n-3}{2n-5}$，c_n=$\frac{6n-13}{2n-5}$•（$\frac{10}{9}$）ⁿ．計算$\frac{{c}_{n+1}}{{c}_{n}}$-1，討論n的取值，即可得到所求最小值．

解答 解：（1）a_n+1=$\frac{2{a}_{n}-1}{{a}_{n}}$（n∈N^*），
b_n=$\frac{1}{{a}_{n}-1}$，
a₁=$\frac{1}{3}$，可得b₁=$\frac{1}{\frac{1}{3}-1}$=-$\frac{3}{2}$，
a₂=2-3=-1，
b₂=$\frac{1}{{a}_{2}-1}$=-$\frac{1}{2}$，
a₃=2-（-1）=3，
b₃=$\frac{1}{{a}_{3}-1}$=$\frac{1}{2}$，
a₄=2-$\frac{1}{3}$=$\frac{5}{3}$，
b₄=$\frac{1}{{a}_{4}-1}$=$\frac{3}{2}$；
（2）證明：a_n+1=$\frac{2{a}_{n}-1}{{a}_{n}}$（n∈N^*），
當n≥2，n∈N^*，
b_n=$\frac{1}{{a}_{n}-1}$=$\frac{1}{2-\frac{1}{{a}_{n-1}}-1}$=$\frac{1}{1-\frac{1}{{a}_{n-1}}}$=$\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-1}-1}$
=1+$\frac{1}{{a}_{n-1}-1}$=1+b_n-1，
則數(shù)列{b_n}是首項為-$\frac{3}{2}$，公差為1的等差數(shù)列；
（3）由（2）可得b_n=$\frac{1}{{a}_{n}-1}$=-$\frac{3}{2}$+n-1=n-$\frac{5}{2}$，
即有a_n=1+$\frac{2}{2n-5}$=$\frac{2n-3}{2n-5}$，
c_n=（a_n+2）（$\frac{10}{9}$）ⁿ=（$\frac{2n-3}{2n-5}$+2）（$\frac{10}{9}$）ⁿ=$\frac{6n-13}{2n-5}$•（$\frac{10}{9}$）ⁿ．
$\frac{{c}_{n+1}}{{c}_{n}}$-1=$\frac{6n-7}{2n-3}$•（$\frac{10}{9}$）ⁿ⁺¹•$\frac{2n-5}{6n-13}$•（$\frac{9}{10}$）ⁿ-1
=$\frac{12{n}^{2}-44n-1}{9（2n-3）（6n-13）}$，
當n=1時，$\frac{{c}_{2}}{{c}_{1}}$＜1，而c₁＞0，則c₂＜c₁，
當n=2時，$\frac{{c}_{3}}{{c}_{2}}$-1＞0，由c₂＞0，則c₃＞c₂，
當n=3時，$\frac{{c}_{4}}{{c}_{3}}$-1＜0，由c₃＞0，則c₄＜c₃，
當n=4時，$\frac{{c}_{5}}{{c}_{4}}$-1＞0，由c₄＞0，則c₄＜c₅，
當n≥5時，$\frac{{c}_{n+1}}{{c}_{n}}$-1＞0，即有c_n＜c_n+1．
則c₁＞c₂＜c₃＞c₄＜c₅＜c₆＜…＜c_n＜c_n+1．
由c₂-c₄=（$\frac{10}{9}$）²-$\frac{11}{3}$•（$\frac{10}{9}$）⁴＜0，
即有c₂＜c₄．
則數(shù)列{c_n}有最小值，且為c₂=$\frac{100}{81}$．

點評 本題考查數(shù)列的通項公式的求法，注意運用構(gòu)造法，考查等差數(shù)列的定義以及通項公式的運用，考查數(shù)列中的大小關(guān)系，注意運用作差法，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．