Question

11．如圖，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=CB=2，∠ABC=60°，四邊形ACFE為矩形，CF=$\sqrt{3}$，平面ACFE⊥平面ABCD，點M為線段EF中點．
（Ⅰ）求異面直線ED與MC所成的角的正切值；
（Ⅱ）求證：平面AMB⊥平面MBC；
（Ⅲ）求直線BC與平面AMB所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取AC的中點N，連接DN，EN．說明∠DEN為異面直線ED與MC所成的角．在Rt△EDN中，求解即可．
（Ⅱ）證明AC⊥BC，推出BC⊥平面ACFE，得到BC⊥AM．AM⊥MC，即可證明AM⊥平面MBC，平面AMB⊥平面MBC．
（Ⅲ）過點C作CH⊥MB=H，∠CBH為直線BC與平面AMB所成的角．在Rt△BCM中，求解直線BC與平面AMB所成角的正弦值．

解答 （Ⅰ）解：取AC的中點N，連接DN，EN．
∵四邊形ACFE為矩形，M為線段EF中點，
∴EM∥NC且EM=NC，
∴EN∥MC，
∴∠DEN為異面直線ED與MC所成的角．
在△ADC中，AD=DC=2，∠ADC=120°，
∴DN=1且DN⊥AC，
又∵平面ACFE⊥平面ABCD，
∴DN⊥平面ACFE，
∴DN⊥EN．
在Rt△EDN中，$EN=\sqrt{6}$，$tan∠DEN=\frac{DN}{EN}=\frac{{\sqrt{6}}}{6}$．
（Ⅱ）證明：在△ABC中，∠ABC=60°，BC=2，$AC=2\sqrt{3}$，
∴AC⊥BC，
又∵平面ACFE⊥平面ABCD，
∴BC⊥平面ACFE，
∴BC⊥AM．
在矩形ACFE中，∵$AM=MC=\sqrt{6}$，$AC=2\sqrt{3}$，
∴AM⊥MC，
又∵BC∩MC=C，
∴AM⊥平面MBC，
又∵AM?平面AMB，
∴平面AMB⊥平面MBC．
（Ⅲ）解：過點C作CH⊥MB=H，
由第（Ⅱ）問知平面AMB⊥平面MBC=MB，
∴CH⊥平面AMB，
∴∠CBH為直線BC與平面AMB所成的角．
在Rt△BCM中，$MC=\sqrt{6}$，BC=2，
∴$MB=\sqrt{10}$，∴$CH=\frac{BC•MC}{MB}=\frac{{2\sqrt{15}}}{5}$，
∴$sin∠CBH=\frac{CH}{CB}=\frac{{\sqrt{15}}}{5}$，
∴直線BC與平面AMB所成角的正弦值為$\frac{{\sqrt{15}}}{5}$．

點評 本題考查直線與平面垂直的判定定理以及性質定理的應用，直線與平面所成角的求法，異面直線所成角的求法，考查空間想象能力以及計算能力．