Question

5．如圖，平面ABEF⊥平面CBED，四邊形ABEF為直角梯形，∠AFE=∠FEB=90°，四邊形CBED為等腰梯形，CD∥BE，且BE=2AF=2CD=2BC=2EF=4．
（Ⅰ）若梯形CBED內(nèi)有一點(diǎn)G，使得FG∥平面ABC，求點(diǎn)G的軌跡；
（Ⅱ）求平面ABC與平面ACDF所成的銳二面角的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取BE的中點(diǎn)O，連接OD，OF，則DO∥BC，F(xiàn)O∥AB，可得平面DFO∥平面ABC，即可得出結(jié)論；
（Ⅱ）由題意得AO⊥平面CBEF，OC=OD=CD=DE，△COD為正三角形，連接O與CD的中點(diǎn)并延長，
以此線為x軸，以O(shè)為原點(diǎn)，OE為y軸，OA為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)O為BE的中點(diǎn)，連接FO，DO，
因為∠AFE=∠FEB=90°，所以AF∥BO，又AF=BO，所以AFOB為平行四邊形，所以AB∥OF，
又OF?平面ABC，所以O(shè)F∥平面ABC，
同時AF∥BE，CD∥BE，∴AF∥CD，又AF=DC，所以ACDF也為平行四邊形，所以DF∥AC，
又DF?平面ABC，所以DF∥平面ABC，
因為DF∩OF=F，所以平面DOF∥平面ABC，
故當(dāng)G位于線段OD上時，F(xiàn)G∥平面ABC，從而點(diǎn)G的軌跡為線段OD．
（Ⅱ）由題意EF⊥BE，因為平面ABEF⊥平面CBED，平面ABEF∩平面CBED=BE，
所以EF⊥平面CBED，又可證EF∥AO，所以AO⊥平面CBEF，
根據(jù)題意OC=OD=CD=DE，所以△COD為正三角形，連接O與CD的中點(diǎn)并延長，
以此線為x軸，以O(shè)為原點(diǎn)，OE為y軸，OA為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，所以$O（{0，0，0}），A（{0，0，2}），B（{0，-2，0}），C（{\sqrt{3}，-1，0}），\overrightarrow{AB}=（{0，-2，-2}），\overrightarrow{AC}=（{\sqrt{3}，-1，-2}），\overrightarrow{CD}=（{0，2，0}）$，
設(shè)平面ABC的一個法向量為η=（x，y，z），則$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{AB}•\vec n=0\\ \overrightarrow{AC}•\vec n=0\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}-2y-2z=0\\ \sqrt{3}x-y-2z=0\end{array}\right.$，
令z=1，則$\vec n=（{\frac{{\sqrt{3}}}{3}，-1，1}）$，
同理可得平面ACDF一個法向量為$\vec m=（{\frac{{2\sqrt{3}}}{3}，0，1}）$，
所以平面ABC與平面ACDF所成的銳二面角的余弦值為$|{\frac{\vec m•\vec n}{{|{\vec m}|•|{\vec n}|}}}|=|{\frac{{\frac{5}{3}}}{{\sqrt{\frac{7}{3}}\sqrt{\frac{7}{3}}}}}|=\frac{5}{7}$．

點(diǎn)評 本題考了空間動點(diǎn)軌跡問題，查直線與平面平行的判定，二面角的向量求法，考查邏輯思維能力 空間想象能力，是中檔題．