Question

14．點P是雙曲線$\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{12}=1$上任意一點，則P到兩漸近線距離的乘積是3．

Answer 1

分析 先設(shè)P（x₁，y₁）是雙曲線上任意一點，再求出雙曲線的漸近線方程，根據(jù)點到線的距離公式分別表示出點P（x₁，y₁）到兩條漸近線的距離，然后兩距離再相乘整理即可得到答案．

解答 解：設(shè)P（x₁，y₁）是雙曲線上任意一點，$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}-\frac{{{y}_{1}}^{2}}{12}=1$，
該雙曲的兩條漸近線方程分別是$\sqrt{3}$x-y=0和$\sqrt{3}$x+y=0．
點P（x₁，y₁）到兩條漸近線的距離分別是$\frac{|\sqrt{3}{x}_{1}-{y}_{1}|}{2}$和$\frac{|\sqrt{3}{x}_{1}+{y}_{1}|}{2}$，
它們的乘積是$\frac{|\sqrt{3}{x}_{1}-{y}_{1}|}{2}$•$\frac{|\sqrt{3}{x}_{1}+{y}_{1}|}{2}$=$\frac{3{{x}_{1}}^{2}-{{y}_{1}}^{2}}{4}$=3，
．點P到雙曲線的兩條漸線的距離的乘積是一個常數(shù)3．
故答案為：3．

點評 本題主要考查雙曲線的基本性質(zhì)--漸近線方程，考查點到線的距離公式的應(yīng)用．