Question

20．已知函數(shù)f（x）=|3x-1|-2|x|+2．
（1）解不等式：f（x）＜10；
（2）若對(duì)任意的實(shí)數(shù)x，f（x）-|x|≤a恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）分類(lèi)討論，解不等式：f（x）＜10；
（2）對(duì)任意的實(shí)數(shù)x，f（x）-|x|≤a恒成立，即|3x-1|-|3x|≤a-2，利用|3x-1|-|3x|≤|3x-1-3x|=1，即可求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（1）x＜0時(shí)，不等式化為-3x+1+2x+2＜10，解得x＞-7，∴-7＜x＜0；
0$≤x≤\frac{1}{3}$時(shí)，不等式化為-3x+1-2x+2＜10，解得x＞-$\frac{7}{5}$，∴0$≤x≤\frac{1}{3}$；
x＞$\frac{1}{3}$時(shí)，不等式化為3x-1-2x+2＜10，解得x＜9，∴$\frac{1}{3}＜x＜9$；
綜上所述，不等式的解集為（-7，9）；
（2）對(duì)任意的實(shí)數(shù)x，f（x）-|x|≤a恒成立，即|3x-1|-|3x|≤a-2，
∵|3x-1|-|3x|≤|3x-1-3x|=1，
∴a-2≥1，∴a≥3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查不等式的解法，考查恒成立問(wèn)題，考查絕對(duì)值不等式的運(yùn)用，屬于中檔題．