Question

10．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C₁：$\left\{\begin{array}{l}x=rcosθ\\ y=rsinθ\end{array}$（θ為參數(shù)，0＜r＜4），曲線C₂：$\left\{\begin{array}{l}x=2+2\sqrt{2}cosθ\\ y=2+2\sqrt{2}sinθ\end{array}$（θ為參數(shù)），以坐標(biāo)原點為極點，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，射線$θ=α（0＜α＜\frac{π}{2}）$與曲線C₁交于N點，與曲線C₂交于O，P兩點，且|PN|最大值為2$\sqrt{2}$．
（1）將曲線C₁與曲線C₂化成極坐標(biāo)方程，并求r的值；
（2）射線θ=α+$\frac{π}{4}$與曲線C₁交于Q點，與曲線C₂交于O，M兩點，求四邊形MPNQ面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）曲線C₁：$\left\{\begin{array}{l}x=rcosθ\\ y=rsinθ\end{array}$（θ為參數(shù)，0＜r＜4），利用平方關(guān)系可得：普通方程為，利用互化公式可得極坐標(biāo)方程，曲線C₂：$\left\{\begin{array}{l}x=2+2\sqrt{2}cosθ\\ y=2+2\sqrt{2}sinθ\end{array}$（θ為參數(shù)），利用平方關(guān)系可得普通方程，利用互化公式可得極坐標(biāo)方程．射線$θ=α（0＜α＜\frac{π}{2}）$與曲線C₁交于N點，與曲線C₂交于O，P兩點，且|PN|最大值為2$\sqrt{2}$，可得r=2$\sqrt{2}$．
（2）由題意可得：N（r，α），Q$（r，α+\frac{π}{4}）$，P$（4\sqrt{2}sin（α+\frac{π}{4}），α）$，M$（4\sqrt{2}sin（α+\frac{π}{2}），α+\frac{π}{4}）$．S_{四邊形MPNQ}=S_△OPM-S_△ONQ，利用三角函數(shù)的單調(diào)性值域即可得出．

解答 解：（1）曲線C₁：$\left\{\begin{array}{l}x=rcosθ\\ y=rsinθ\end{array}$（θ為參數(shù)，0＜r＜4），普通方程為x²+y²=r²（0＜r＜4），極坐標(biāo)方程為C₁：ρ=r（0＜r＜4），
曲線C₂：$\left\{\begin{array}{l}x=2+2\sqrt{2}cosθ\\ y=2+2\sqrt{2}sinθ\end{array}$（θ為參數(shù)），普通方程為（x-2）²+（y-2）²=8，極坐標(biāo)方程為C₂：ρ=4$\sqrt{2}$sin（θ+$\frac{π}{4}$），
射線$θ=α（0＜α＜\frac{π}{2}）$與曲線C₁交于N點，與曲線C₂交于O，P兩點，且|PN|最大值為2$\sqrt{2}$，r=2$\sqrt{2}$．
（2）由題意可得：N（r，α），Q$（r，α+\frac{π}{4}）$，P$（4\sqrt{2}sin（α+\frac{π}{4}），α）$，M$（4\sqrt{2}sin（α+\frac{π}{2}），α+\frac{π}{4}）$．
∴S_{四邊形MPNQ}=S_△OPM-S_△ONQ=$\frac{1}{2}$$4\sqrt{2}sin（α+\frac{π}{4}）$×$4\sqrt{2}sin（α+\frac{π}{2}）$×sin$\frac{π}{4}$-$\frac{1}{2}{r}^{2}•sin\frac{π}{4}$=$8\sqrt{2}$$sin（α+\frac{π}{4}）$cosα-2$\sqrt{2}$
=$4\sqrt{2}sin（2α+\frac{π}{4}）$+4-2$\sqrt{2}$≤4+2$\sqrt{2}$．
當(dāng)$sin（2α+\frac{π}{4}）$=1時取等號，
∴四邊形MPNQ面積的最大值是4+2$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了參數(shù)方程化為普通方程、極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程、三角函數(shù)求值、三角形面積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．