Question

20．設(shè)函數(shù)f（x）=a（x+1）²ln（x+1）+bx（a，b∈R），曲線y=f（x）過點（e-1，e²-e+1）（e是自然對數(shù)的底數(shù)），且在點（0，0）處的切線方程為y=0．
（1）求a，b的值；
（2）證明：當(dāng)x≥0時，f（x）≥x²．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，計算f′（0）=0，f（e-1）=e²-e+1，求出a，b的值即可；
（2）設(shè)g（x）=（x+1）²ln（x+1）-x-x²（x≥0），求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可．

解答 （1）解：f'（x）=2a（x+1）ln（x+1）+a（x+1）+b，
因為f'（0）=a+b=0，f（e-1）=ae²+b（e-1）=a（e²-e+1）=e²-e+1，
所以a=1，b=-1．
（2）證明：f（x）=（x+1）²ln（x+1）-x，
設(shè)g（x）=（x+1）²ln（x+1）-x-x²（x≥0），
則m（x）=g'（x）=2（x+1）ln（x+1）-x，
m'（x）=2ln（x+1）+1＞0，
所以m（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增，
所以m（x）≥m（0）=0，
所以g（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增，
所以g（x）≥g（0）=0．
所以f（x）≥x²．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及不等式的證明，是一道中檔題．